Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 87
2.1
EJERCICIOS
1. Un depósito contiene 1 000 galones de agua que se drenan desde
la parte inferior en media hora. Los valores que aparecen en la
tabla muestran el volumen V de agua que resta en el tanque (en
galones) una vez que transcurren t minutos.
t (min) 5 10 15 20 25 30
V (gal) 694 444 250 111 28 0
(a) Si P es el punto (15, 250) en la gráfica de V, encuentre las
pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto
en la gráfica con t 5, 10, 20, 25 y 30.
(b) Estime la pendiente de la recta tangente en P promediando
las pendientes de dos rectas secantes.
(c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de
la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la cantidad
a la que fluye el agua desde el tanque después de 15
minutos.)
2. Se usa un monitor cardiaco para medir la frecuencia cardiaca
de un paciente después de una cirugía. Éste recopila el número
de latidos cardiacos después de t minutos. Cuando se sitúan
los datos de la tabla en una gráfica, la pendiente de la
recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos
por minuto.
t (min) 36 38 40 42 44
Latidos cardiacos 2 530 2 661 2 806 2 948 3 080
El monitor estima este valor calculando la pendiente de una
recta secante. Use los datos para estimar la frecuencia cardiaca
del paciente, después de 42 minutos, usando la recta secante
entre los puntos
(a) t 36 y t 42 (b) t 38 y t 42
(c) t 40 y t 42 (d) t 42 y t 44
¿Cuáles son sus conclusiones?
3. El punto P(1, 1 2) está sobre la curva y x1 x.
(a) Si Q es el punto x, x1 x, use su calculadora para
hallar la pendiente de la recta secante PQ (correcta hasta
seis cifras decimales) para los valores de x que se enumeran
a continuación:
(i) 0.5 (ii) 0.9 (iii) 0.99 (iv) 0.999
(v) 1.5 (vi) 1.1 (vii) 1.01 (viii) 1.001
(b) Mediante los resultados del inciso (a) conjeture el valor de
la pendiente de la recta tangente a la curva en P(1, 1 2) .
(c) Usando la pendiente del inciso (b) encuentre la ecuación de
la recta tangente a la curva en P(1, 1 2) .
4. El punto P3, 1 se encuentra sobre la curva y sx 2
(a) Si Q es el punto (x, sx 2) , mediante una calculadora
determine la pendiente de la secante PQ (con seis
cifras decimales) para los valores siguientes de x:
(i) 2.5 (ii) 2.9 (iii) 2.99 (iv) 2.999
(v) 3.5 (vi) 3.1 (vii) 3.01 (viii) 3.001
(b) Por medio de los resultados del inciso (a), conjeture el valor
de la pendiente de la recta tangente en P3, 1.
5.
(c) Mediante la pendiente del inciso (b), halle una ecuación de
la recta tangente a la curva en P3, 1.
(d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente.
Si se lanza una pelota en el aire con una velocidad de
40 piess, su altura en pies, después de t segundos, se
expresa por y 40t 16t 2 .
(a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que se
inicia cuando t 2 y dura:
(i) 0.5 seg (ii) 0.1 seg
(iii) 0.05 seg (iv) 0.01 seg
(b) Estime la velocidad instantánea cuando t 2.
6. Si se lanza una roca hacia arriba en el planeta Marte con una
velocidad de 10 ms, su altura en metros t segundos después
se proporciona mediante y 10t 1.86t 2 .
(a) Hallar la velocidad promedio en los intervalos de tiempo
que se proporcionan:
(i) 1, 2 (ii) 1, 1.5 (iii) 1, 1.1
(iv) 1, 1.01 (v) 1, 1.001
(b) Estimar la velocidad instantánea cuando t 1.
7. La tabla exhibe la posición de un ciclista.
t (segundos) 0 1 2 3 4 5
s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8
(a) Hallar la velocidad promedio para cada periodo:
(i) 1, 3 (ii) 2, 3 (iii) 3, 5 (iv) 3, 4
(b) Use la gráfica de s como una función de t para estimar la
velocidad instantánea cuando t 3.
8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula de atrás
hacia adelante en una línea recta se conoce por la ecuación
de movimiento s 2 sen pt 3 cos pt, donde t se mide en
segundos.
(a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo:
(i) 1, 2 (ii) 1, 1.1
(iii) 1, 1.01 (iv) 1, 1.001
(b) Estimar la velocidad instantánea de la partícula cuando
t 1.
9. El punto P1, 0 está sobre la curva y sen10px.
(a) Si Q es el punto x, sen10px, encuentre la pendiente de
la recta secante PQ (correcta hasta cuatro cifras decimales)
para s 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9.
¿Parece que las pendientes tienden a un límite?
; (b) Use una gráfica de la curva para explicar por qué las
pendientes de las rectas secantes del inciso (a) no están
cercanas a la pendiente de la recta tangente en P.
(c) Mediante la selección de rectas secantes apropiadas, estime
la pendiente de la recta tangente en P.