Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 8.3 APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA |||| 547
(véase la sección 6.3), se tiene
V y b
2x f x tx dx
a
2 y b
x f x tx dx
a
2xA
(por las fórmulas 9)
2 xA Ad
donde d 2x es la distancia recorrida por el centroide durante una rotación
respecto al eje y.
V EJEMPLO 7 Un toroide se forma al hacer girar un círculo de radio r respecto a una
recta en el plano del círculo que es la distancia R r desde el centro del círculo. Encuentre
el volumen del toroide.
SOLUCIÓN El círculo tiene área A r 2 . Por el principio de simetría, su centroide es su
centro y, por lo tanto, la distancia recorrida por el centroide durante una rotación es
d 2R. Así, por el teorema de Pappus, el volumen del toroide es
V Ad 2Rr 2 2 2 r 2 R
El método del ejemplo 7 se debe comparar con el método del ejercicio 63 en la sección
6.2.
8.3
EJERCICIOS
1. Un acuario de 5 pies de largo, 2 pies de ancho y 3 pies de
profundidad, se llena de agua. Determine (a) la presión
hidrostática en el fondo del acuario, (b) la fuerza hidrostática en
el fondo y (c) la fuerza hidrostática en un extremo del acuario.
5. 6.
6m
1 m
2. Una alberca de 4 m de ancho, 8 m de largo y 2 m
3
de profundidad se llena con querosene de densidad 820 kgm
hasta una profundidad de 1.5 m. Encuentre (a) la
presión hidrostática en el fondo de la alberca, (b)la fuerza
hidrostática en el fondo y (c) la fuerza hidrostática en
un extremo de la alberca.
7.
2m
8.
4m
1 m
3–11 Una placa vertical se sumerge en agua (o parcialmente sumergida)
y tiene la forma indicada. Explique cómo aproximar la
fuerza hidrostática contra un extremo de la placa mediante una suma
de Riemann. Luego exprese la fuerza como una integral, y evalúela.
3. 4.
2 pies
1 pie
4 pies
9. 10.
4 pies
3 pies
6 pies