Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES |||| 53
debe tener
2 1.7 2 s3 2 1.8
y sabe qué significa 2 1.7 y 2 1.8 porque 1.7 y 1.8 son números racionales. De manera análoga,
si usa mejores aproximaciones para s3, obtiene mejores aproximaciones para
2 s3 :
& Una prueba de este hecho se proporciona en
J. Marsden y A. Weinstein, Calculus Unlimited
(Menlo Park, CA: BenjaminCummings, 1981.)
Para una versión en línea, vease
www.cds.caltech.edu/~marsden/
volume/cu/CU.pdf
y
1.73205 s3 1.73206 ? 2 1.73205 2 s3 2 1.73206
. . . .
Es posible demostrar que existe exactamente un número que es mayor que todos los números
y menor que todos los números
1.73 s3 1.74 ? 2 1.73 2 s3 2 1.74
1.732 s3 1.733 ? 2 1.732 2 s3 2 1.733
1.7320 s3 1.7321 ? 2 1.7320 2 s3 2 1.7321
2 1.7 ,
2 1.73 ,
2 1.732 ,
2 1.7320 ,
2 1.73205 ,
2 1.8 , 2 1.74 , 2 1.733 , 2 1.7321 , 2 1.73206 , ...
Defina 2 s3 como este número. Al utilizar el proceso de aproximación anterior puede calcularlo
correcto hasta seis cifras decimales
...
2 s3 3.321997
FIGURA 2
y=2®, real
1
0
1
x
De manera análoga, puede definir 2 x (o a x , si a 0) donde x es cualquier número irracional.
La figura 2 muestra cómo se llenaron todos los huecos en la figura 1 para completar
la gráfica de la función f x 2 x , x .
En la figura 3 se muestran las gráficas de los miembros de la familia de funciones y a x
para distintos valores de la base a. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo
punto (0, 1) porque a 0 1 para a 0. Note asimismo que a medida que aumenta la base
a, se incrementa más rápido la función exponencial (para x 0).
1
” ’ ®
2
1
” ’ ®
4
y
10®
4®
2®
1.5®
& Si 0 a 1, después a x se aproxima a
0 conforme x aumenta. Si a 1, entonces a x
se aproxima a 0 a medida que x disminuye a
través de valores negativos. En ambos casos
el eje x es una asíntota horizontal. Estos
aspectos se analizan en la sección 2.6.
1®
FIGURA 3
0
De la figura 3 puede verse que básicamente existen tres tipos de funciones exponenciales
y a x . Si 0 a 1, disminuye la función exponencial; si a 1, es una constante, y
si a 1, se incrementa. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si a 1,
1
x