Cálculo de Una Variable, 6a ed

328 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
4.7
EJERCICIOS
1. Considere el problema siguiente. Encuentre dos números cuya
suma es 23 y cuyo producto es un máximo.
(a) Formule una tabla de valores, como la que aparece a continuación,
de tal suerte que la suma de los números en las
primeras dos columnas sea siempre 23. Con base en la
evidencia de su tabla, estime la respuesta al problema
Primer número Segundo número Producto
1 22 22
2 21 42
3 20 60
. . .
. . .
. . .
(b) Aplique el cálculo para resolver el problema y compárelo
con su respuesta al inciso (a).
2. Encuentre dos números cuya diferencia sea 100 y cuyo producto
sea un mínimo.
3. Encuentre dos números positivos cuyo producto sea 100 y
cuya suma sea un mínimo.
4. Halle un número positivo tal que la suma del número y su recíproco
sean lo más pequeños posible.
5. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un perímetro de
100 m cuya área sea lo más grande posible.
6. Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un área de
1000 m 2 cuyo perímetro sea lo más pequeño posible.
7. Un modelo aplicado para el rendimiento Y de un cultivo agrícola
como una función del nivel de nitrógeno N en el suelo (que se
mide en unidades apropiadas) es
Y
kN
1 N 2
donde k es una constante positiva. ¿Qué nivel de nitrógeneo
proporciona el mejor rendimiento?
8. La cantidad (en mg de carbón/m 3 /h) en que se lleva a cabo la
fotosíntesis de un especie de fitoplancton se diseña mediante la
función
100I
P
I 2 I 4
donde I es la intensidad de luz (que se mide en millares de
bujía-pie). ¿Para qué intensidad de luz P es máxima?
9. Considere el problema siguiente: un granjero que dispone de
750 pies de cerca desea cercar un área rectangular y luego dividirla
en cuatro corrales con un cercado paralelo a un lado del
rectángulo. ¿Cuál es el área total más grande posible de los
cuatro corrales?
(a) Dibuje varios diagramas que ilustren la situación, algunos con
corrales poco profundos y anchos y algunos con corrales
profundos y estrechos. Halle el área total de estas configuraciones.
¿Parece existir un área máxima? De ser así, estímela.
(b) Dibuje un diagrama que ilustre la situación en general. Introduzca
notaciones e identifique el diagrama con sus símbolos.
(c) Escriba una expresión para el área total.
(d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione
las variables.
(e) Utilice el inciso (d) para escribir el área total como función
de una variable.
(f) Termine de resolver el problema y compare la respuesta
con la estimación que hizo en el inciso (a).
10. Considere el problema que se enuncia enseguida: se va a construir
una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo
cuadrado de cartón que tiene 3 pies de ancho, al recortar un
cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados
hacia arriba. Encuentre el volumen más grande que puede tener
una caja semejante.
(a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación; algunas cajas
cortas con bases grandes y otras con bases pequeñas. Encuentre
el volumen de varias de esas cajas. ¿Parece que existe
un volumen máximo? Si es así, estímelo.
(b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación general. Introduzca
la notación y marque el diagrama con sus símbolos.
(c) Escriba una expresión para el volumen.
(d) Use la información dada para escribir una ecuación que
relacione las variables.
(e) Utilice el inciso (d) para escribir el volumen como función
de una variable.
(f) Termine de resolver el problema y compare la respuesta
con la estimación que hizo en el inciso (a).
11. Un granjero quiere cercar un área de 1.5 millones de pies cuadrados
de un campo rectangular, y luego dividirla a la mitad
mediante una cerca paralela a uno de los lados del rectángulo.
¿De qué manera debe hacerlo para que los costos de la cerca
sean mínimos?
12. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un
3
volumen de 32 000 cm . Encuentre las dimensiones de la caja que
minimicen la cantidad de material usado.
2
13. Si se cuenta con 1 200 cm de material para hacer una caja con
base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen
máximo posible de la caja.
14. Un recipiente rectangular de almacenaje con la parte superior
3
abierta debe tener un volumen de 10 m . El largo de su base es
el doble del ancho. El material para la base cuesta $10 por metro
cuadrado. El material para los costados, $6 por metro cuadrado.
Encuentre el costo de los materiales para tener el más
barato de esos recipientes.
15. Resuelva el ejercicio 14 suponiendo que el recipiente tiene una
tapa que se fabrica del mismo material que los lados.
16. (a) Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada,
el que tiene el perímetro menor es un cuadrado.
(b) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro
dado, el que tiene el área máxima es un cuadrado.
17. Encuentre el punto en la recta y 4x 7 que está más cerca
al origen.
18. Determine el punto en la recta 6x y 9 que está más cerca
al punto (3, 1).
19. Halle los puntos sobre la elipse 4x 2 y 2 4 que se encuentran
más lejos del punto (1, 0).