Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 325
y
(1, 4)
(x, y)
1
0 1 2 3 4
¥=2x
x
V EJEMPLO 3 Encuentre el punto sobre la parábola y 2 2x más cercano al punto (1, 4).
SOLUCIÓN La distancia entre el punto (1, 4) y el punto (x, y) es
d sx 1 2 y 4 2
(Véase la figura 6.) Pero si (x, y) se encuentra sobre la parábola, entonces , de
modo que la expresión para d se convierte en
d s( 1 2 y 2 1) 2 y 4 2 x 1 2 y 2
(Como otra opción pudo sustituir y s2x para obtener d en términos de sólo x.) En
lugar de minimizar d, minimice su cuadrado:
FIGURA 6
(Convénzase por usted mismo que el mínimo de d se tiene en el mismo punto que el mínimo
de , pero es más fácil trabajar con este último.) Al derivar, obtiene
d 2 d 2 f y ( 1 2 y 2 1) 2 y 4 2
f y 2( 1 2 y 2 1)y 2y 4 y 3 8
de modo que f(y) 0 cuando y 2. Observe que f y 0 cuando y 2 y f y 0
cuando y 2, de suerte que por la prueba de la primera derivada para valores extremos
absolutos, se presenta el mínimo absoluto cuando y 2. (O podría decir que, debido a
la naturaleza geométrica del problema, es obvio que existe un punto lo más próximo, pero
no un punto que esté lo más alejado.) El valor correspondiente de x 1 2. Por
esto, el punto de y 2 2 y 2
2x más cercano a (1, 4) es (2, 2).
A
3 km
C
D
EJEMPLO 4 Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que
tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribera
opuesta, tan rápido como le sea posible (véase la figura 7). Podría remar en su bote,
cruzar directamente el río hasta el punto C y correr hasta B, o podría remar hasta B o,
en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y B, y luego correr hasta B. Si
puede remar a 6 kmh y correr a 8 kmh, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan
pronto como sea posible? (Suponga que la rapidez del agua es insignificante comparada
con la rapidez a la que rema el hombre.)
B
8 km
DB 8 x
SOLUCIÓN Sea x la distancia de C hasta D, entonces la distancia por correr es ;
el teorema de Pitágoras da la distancia por remar como AD sx 2 9. Utilice la
ecuación
tiempo distancia
velocidad
FIGURA 7
Por lo tanto el tiempo que tiene que remar es sx 2 96 y el que debe correr es
(8 x)8, de modo que el tiempo total T, como función de x, es
Tx sx 2 9
6
El dominio de esta función t es 0, 8. Advierta que si x 0, el hombre rema hacia C y
si x 8 rema directamente hacia B. La derivada de T es
Tx
8 x
8
x
6sx 2 9 1 8