Cálculo de Una Variable, 6a ed

302 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
De hecho, el límite requerido es fácil de hallar porque la función es continua y el denominador
es diferente de cero en:
lím
x l
sen x
1 cos x sen
1 cos
0
1 1 0
El ejemplo 5 hace ver hasta qué punto puede equivocarse si aplica la regla de l’Hospital
sin pensar. Es posible hallar otros límites aplicando dicha regla, pero se encuentran con
mayor facilidad con otros métodos. (Véanse los ejemplos 3 y 5 de la sección 2.3, el ejemplo
3 de la sección 2.6 y el análisis al principio de esta sección.) Por lo tanto, al evaluar
cualquier límite, considere otros métodos antes de aplicar la regla de l’Hospital.
PRODUCTOS INDETERMINADOS
Si lím x l a f x 0 y lím x l a tx (o bien ), por lo tanto no resulta claro cuál es el
valor de lím x l a f xtx, si lo hay. Se tiene una lucha entre f y t. Si f gana, la respuesta
es 0; si t gana, la respuesta será (o bien ). O puede haber un término medio donde
la respuesta es un número finito diferente de cero. Esta clase de límite se llama forma
indeterminada del tipo 0 . Puede manejarla escribiendo el producto ft como un
cociente:
ft
f
1t
o
ft
Esto convierte el límite dado en una forma indeterminada del tipo 0 o de modo que
aplique la regla de l’Hospital.
t
1f
0
& En la figura 5 se ilustra la gráfica de la función
en el ejemplo 6. Note que la función es
indefinida en x 0; la gráfica se aproxima al
origen pero nunca lo alcanza.
y
V EJEMPLO 6 Evalúe lím x l 0 x ln x .
SOLUCIÓN El límite dado es indeterminado porque, cuando x l 0 , el primer factor x
tiende a 0, en tanto que el segundo ln x lo hace a . Si se escribe x 11x, tiene
1x l cuando x l 0 , de modo que la regla de l’Hospital da
y=x ln x
lím
ln x
x ln x lím
x l 0 x l 0 1x lím
x l 0
1x
1x 2
lím
x l 0 x 0
NOTA
opción:
En la resolución del ejemplo 6 se podría escribir lo siguiente como otra posible
0
1
x
x
lím x ln x lím
x l 0 x l 0
1ln x
FIGURA 5
Esto da una forma indeterminada del tipo 00, pero si aplica la regla de l’Hospital, obtiene
una expresión más complicada que aquella con la que empezó. En general, cuando
escribe de nuevo un producto indeterminado, trate de escoger la opción que conduzca al límite
más sencillo.
DIFERENCIAS INDETERMINADAS
Si lím x l a f x y lím x l a tx , entonces el límite
lím f x tx
x l a
se conoce como forma indeterminada del tipo . Una vez más, existe una competencia
entre f y t. ¿La respuesta es (f gana), o será (t gana) o se tiene un término