Cálculo de Una Variable, 6a ed

PROBLEMAS ADICIONALES
(d) Un recipiente semiesférico tiene radio de 5 pulg y entra agua al recipiente a una cantidad
de 0.2 pulg 3 s .
(i) ¿Qué tan rápido sube el nivel de agua en el recipiente en el instante en que el agua
tiene 3 pulg de profundidad?
(ii) En un cierto momento, el agua tiene 4 pulg de profundidad. ¿Qué tanto tiempo se
requiere para llenar con agua el recipiente?
L
h
y=L-h
y=0
y=_h
6. El principio de Arquímedes establece que la fuerza de flotación de un objeto parcial o totalmente
sumergido en un líquido es igual al peso del líquido que el objeto desaloja. Por lo tanto, en el
caso de un objeto de densidad 0 , que flota parcialmente sumergido en un líquido de densidad
0 la fuerza de flotación es F f t x 0 Ay dy, donde t es la aceleración debido a la gravedad
h
y Ay es el área de una sección transversal representativa del objeto. El peso del objeto se
representa mediante
FIGURA PARA EL PROBLEMA 6
W 0t y Lh
Ay dy
h
(a) Demuestre que el porcentaje del volumen del objeto por arriba de la superficie del
líquido es
y
y=2≈
C
y=≈
P
B
A
0 x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 9
f 0
100
f
(b) La densidad del hielo es 917 kgm 3 y la densidad del agua de mar es 1 030 kgm 3 . ¿Qué
porcentaje del volumen de un iceberg sobresale del agua?
(c) Un cubo de hielo flota en un vaso lleno hasta el borde con agua. ¿Se derramará el agua
cuando se funda el cubo de hielo?
(d) Una esfera de radio 0.4 m y de peso insignificante flota en un lago enorme de agua dulce.
¿Qué tanto trabajo se requiere para sumergir del todo a la esfera? La densidad del agua es
de 1 000 kgm 3 .
7. El agua que se encuentra en un recipiente se evapora con una rapidez proporcional al área de la
superficie del agua. (Esto quiere decir que la rapidez de decremento del volumen es proporcional
al área de la superficie.) Demuestre que la profundidad del agua disminuye a una rapidez
constante, sin que importe la forma del recipiente.
8. Una esfera de radio 1 se sobrepone a una esfera más pequeña de radio r de tal manera que su
intersección es una circunferencia de radio r. (En otras palabras, cuando ambas se cortan, el
resultado es el gran círculo de la esfera menor.) Determine r de modo que el volumen en
el interior de la esfera pequeña y el volumen incluyendo el exterior de la esfera grande sea tan
grande como sea posible.
9. En la figura se ilustra una curva C con la propiedad de que para todo punto P en la mitad de la
curva y 2x 2 , las áreas A y B son iguales. Determine una ecuación de C.
10. Un vaso de papel lleno con agua tiene la forma de un cono de altura h y ángulo semivertical
(véase la figura). Se coloca una pelota con todo cuidado en el vaso, con lo cual se desplaza
una parte de agua y se derrama. ¿Cuál es el radio de la pelota que ocasiona que el volumen
máximo de agua se derrame?
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