Cálculo de Una Variable, 6a ed

PROBLEMAS ADICIONALES
y
5. Demuestre que sen 1 tanh x tan 1 senh x.
x
6. Un automóvil viaja por la noche por una carretera que tiene la forma de parábola con vértice
en el origen (véase figura). El automóvil parte del punto 100 m al oeste y 100 m al norte del
origen, y se desplaza en una dirección hacia el este. Hay una estatua localizada 100 m al este
y 50 m al norte del origen. ¿En qué punto de la carretera los faros del vehículo iluminarán a la
estatua?
FIGURA PARA EL PROBLEMA 6
d n
7. Demuestre que .
dx n sen4 x cos 4 x 4 n1 cos4x n2
8. Determine la n-ésima derivada de la función f x x n 1 x
9. En la figura se muestra un círculo con radio 1 inscrito en la parábola y x 2 . Encuentre el
centro del círculo.
y
y=≈
1
1
0
x
10. Si f es derivable en a, donde a 0, evalúe el siguiente límite en términos de f a:
y
A
¨
å
O
P (x, 0) x
FIGURA PARA EL PROBLEMA 11
11. En la figura se muestra una rueda giratoria, con radio de 40 cm y una leva AP de longitud 1.2
m. El pasador P se desliza hacia atrás y hacia adelante, a lo largo del eje x, conforme la rueda
gira en sentido contrario a las manecillas de un reloj con una rapidez de 360 revoluciones por
minuto.
(a) Encuentre la velocidad angular de la leva, dadt, en radianes por segundo, cuando
u p3.
(b) Exprese la distancia x OP , en términos de u.
(c) Halle una expresión para la velocidad del pasador P, en términos de u.
12. Se trazan las rectas tangentes T 1 y T 2 en los dos puntos P 1 y P 2 sobre la parábola y se
cruzan en un punto P. Se traza otra recta tangente T en un punto entre P 1 y P 2; ésta cruza T 1
en Q 1 y T 2 en Q 2. Demuestre que
13. Demuestre que
lím
x l a
f x f a
sx sa
y x 2
PQ 1
PP 1 PQ 2
PP 2 1
en donde a y b son números positivos, r 2 a 2 b 2 y .
e sen x 1
14. Evalúe lím .
x l x
d n
dx n e ax sen bx r n e ax senbx n
tan 1 ba
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