Cálculo de Una Variable, 6a ed

510 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
y
y= 1 ≈
Compare el resultado del ejemplo 1 con el ejemplo dado al comienzo de esta
sección:
y
1
1
2
dx converge
x
y
1
1
dx diverge
x
0
FIGURA 4
1
área finita
x
Geométricamente, esto dice que aunque las curvas y 1x 2 y y 1x son muy similares
para x 0, la región bajo y 1x 2 a la derecha de x 1 (la región sombreada en la figura
4) tiene área finita mientras que la región bajo y 1x (en la figura 5) tiene área
infinita. Note que tanto 1x 2 como 1x tienden a 0 cuando x l pero 1x 2 se aproxima
a 0 más rápido que 1x. Los valores de 1x no se reducen con la rapidez suficiente para
que su integral tenga un valor finito.
y
y= 1 x
y 0
EJEMPLO 2 Evalúe xe x dx.
SOLUCIÓN Usando el inciso (b) de la definición 1, se tiene
área infinita
y 0
xe x dx lím
t l y0 t
xe x dx
0
1
x
Se integra por partes con u x, dv e x dx de modo que du dx, v e x :
FIGURA 5
y 0
t
xe x dx xe x ] t
0
y 0
t
e x dx
te t 1 e t
Se sabe que e t l 0 cuando t l , y por la regla de l’Hospital se tiene
TEC En Module 7.8 puede investigar
visual y numericamente si algunas integrales
impropias son convergentes o divergentes.
Por lo tanto,
lím te t lím
t l t l
t
e t lím
t l
lím
t l e t 0
1
e t
y 0 xe x dx lím te t 1 e t
t l
0 1 0 1
EJEMPLO 3 Evalúe y 1
.
1 x dx 2
SOLUCIÓN Es conveniente elegir a 0 en la definición 1(c):
y
1
1 x 2 dx y 0
1
1 x dx y 1
2 0 1 x dx 2
Ahora se deben resolver por separado las integrales del lado derecho:
y
0
1
2
dx lím
1 x t l yt 0
dx
1 x 2 lím
t l tan1 x] 0
t
lím
t l
tan 1 t tan 1 0 lím
t l
tan 1 t
2