Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 89
Advierta la frase “pero x a” en la definición de límite. Esto significa que al hallar
el límite de fx cuando x tiende a a, nunca consideró x a. De hecho, incluso no es
necesario que fx esté definida cuando x a. Lo único que importa es cómo está definida
f cerca de a.
En la figura 2 se muestran las gráficas de tres funciones. Observe que en la parte (c),
fa no está definida y, en la parte (b), fa L. Pero en cada caso, sin importar lo que
suceda en a, es verdadero que lím xl a fx L.
y
y
y
L
L
L
0
a
x
0
a
x
0
a
x
(a)
(b)
(c)
FIGURA 2
lím ƒ=L en los tres casos
x a
x 1
fx
0.5 0.666667
0.9 0.526316
0.99 0.502513
0.999 0.500250
0.9999 0.500025
x 1
fx
1.5 0.400000
1.1 0.476190
1.01 0.497512
1.001 0.499750
1.0001 0.499975
x 1
EJEMPLO 1 Conjeture el valor de lím .
x l1 x 2 1
SOLUCIÓN Advierta que la función fx x 1x 2 1 no está definida cuando x 1,
pero eso no importa porque la definición de lím xl a fx dice que considere valores de x
próximos a a pero diferentes de a.
En las tablas que aparecen al margen izquierdo se proporcionan los valores de fx
(correctos hasta seis posiciones decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no
son iguales a 1). Con base en los valores de las tablas, suponga que
x 1
lím
x l1 x 2 1 0.5
El ejemplo 1 se ilustra mediante la gráfica de f de la figura 3. Cambie ahora ligeramente
el valor de f, dándole un valor de 2 cuando x 1 y denominando a la función resultante
como t.
1 si x 1
t(x) x x 2 1
2 si x 1
Esta nueva función t todavía tiene el mismo límite conforme x tiende a 1 (véase la figura 4).
y
y
2
x-1
y=
≈-1
y=©
0.5
0.5
0 1
x
0 1
x
FIGURA 3 FIGURA 4