Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 311
V EJEMPLO 3 Grafique f x xe x .
A. El dominio es .
B. Las intersecciones con los ejes x y y son 0.
C. Simetría: ninguna
D. Puesto que x y e x se vuelven grandes cuando x l , lím x l xe x . Como x l ,
sin embargo, cuando e x l 0 y de igual manera tiene un producto indeterminado que
requiere la aplicación de la regla de l’Hospital:
lím
x l xex lím
x l
x
x
lím
e x l
1
x
lím
e e x 0
x l
Por lo tanto, el eje x es una asíntota horizontal.
y
1
y=x´
E.
f x xe x e x x 1e x
Como e x es siempre positiva, f x 0 cuando x 1 0, y f x 0 cuando
x 1 0. De tal manera, f es creciente en 1, y decreciente en , 1.
F. Debido a que f 1 0 y f pasa de negativo a positivo en x 1,
f 1 e 1
es un mínimo local (y absoluto).
FIGURA 8
_2 _1
(_1, _1/e)
x
G.
f x x 1e x e x x 2e x
Como f x 0 si x 2 y f x 0 si x 2, f es cóncava hacia arriba en
2, y cóncava hacia abajo en , 2. El punto de inflexión es 2, 2e 2 .
H. Aproveche toda la información para graficar la curva en la figura 8.
EJEMPLO 4 Dibuje la gráfica de f x
cos x .
2 sen x
A. El dominio es .
B. El cruce con y es f 0 1 . El cruce con x sucede cuando cos x 0, esto es,
2
x 2n 1p2, donde n es un entero.
C. F no es par ni impar, pero f x 2 f x para toda x y de este modo f es periódica
y tiene periodo 2p. En estos términos, y lo que sigue, necesita considerar únicamente
0 x 2p y por lo tanto extender la curva por translación en la parte H.
D. Asíntota: ninguna
E.
f x
2 sen xsen x cos x cos x
2 sen x
2 sen x 1
2 sen x 2
Por esto f x 0 cuando 2 sen x 1 0 &fi sen x 1 2 &fi 7p6 x 11p6.
De esa manera f es creciente en 7p6, 11p6 y decreciente en
0, 7p6 y 11p6, 2p.
F. De la parte E y la prueba de la primera derivada, resulta que el valor del mínimo local
es f 7p6 1s3 y el valor del máximo local es f 7p6 1s3.
G. Si aplica la regla del cociente una vez más y simplifica, obtiene
2 cos x 1 sen x
f x
2 sen x 3
Ya que 2 sen x 3 0 y 1 sen x 0 para toda x, sabe que f x 0 cuando
cos x 0, es decir, p2 x 3p2. De esa manera f es cóncava hacia arriba en
p2, 3p2 y cóncava hacia abajo 0, p2 y 3p2, 2p. Los puntos de reflexión
son p2, 0 y 3p2, 0.