Cálculo de Una Variable, 6a ed

422 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
6.2
VOLÚMENES
Cuando trata de calcular el volumen de un sólido enfrenta el mismo tipo de problema que
al determinar áreas. Intuitivamente sabe lo que significa un volumen, pero es necesario
aclarar la idea usando el cálculo con el fin de dar una definición exacta de volumen.
Empiece con un tipo simple de sólido llamado cilindro, (o mejor dicho) un cilindro recto.
Según se ilustra en la figura 1(a), un cilindro está limitado por una región plana B 1 , que
se llama base, y una región congruente B 2 en un plano paralelo. El cilindro consta de todos
los puntos en los segmentos rectilíneos que son perpendiculares a la base y unen a B 1 con
B 2 . Si el área de la base es A y la altura del cilindro, es decir, (la distancia desde B 1 hasta B 2 )
es h, por lo tanto el volumen V del cilindro se define como
V Ah
En particular, si la base es una circunferencia de radio r, entonces el cilindro es un cilindro
circular cuyo volumen es V r 2 h [véase figura 1(b)], y si la base es un rectángulo de
largo l y ancho w, entonces el cilindro es una caja rectangular (también se le llama paralelepípedo
rectangular) cuyo volumen es V lwh [véase figura 1(c)].
B
FIGURA 1
B¡
(a) Cilindro
V=Ah
h
(b) Cilindro circular
V=πr@h
r
h
h
l
(c) Caja rectangular
V=lwh
w
En el caso de un sólido S que no es un cilindro, primero “corte” a S en trozos y haga que
cada trozo se aproxime a un cilindro. Estime el volumen de S sumando los volúmenes de
los cilindros. Obtiene el valor del volumen exacto de S a través de limitar un proceso en el
cual el número de trozos se vuelve grande.
Inicie cortando a S con un plano, y obtenga una región plana que se denomina sección
transversal de S. Sea Ax el área de la sección transversal de S en un plano P x perpendicular
al eje x y que pasa por el punto x, donde a x b. (Véase figura 2. Imagine que
corta a S con un cuchillo a través de x y calcule el área de esta rebanada.) El área de la sección
transversal Ax variará cuando x se incrementa desde a hasta b.
y
P x
A(b)
FIGURA 2
0 a x
b
x