Cálculo de Una Variable, 6a ed

PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 5
Como primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos,
encuentre la velocidad durante el intervalo 2 t 4:
distancia recorrida
velocidad promedio
tiempo transcurrido
42 9
4 2
16.5 piess
De manera análoga, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 2 t 3 es
velocidad promedio 24 9
3 2 15 piess
Tiene la sensación de que la velocidad en el instante t 2 no puede ser muy diferente
de la velocidad promedio durante un intervalo corto que se inicie en t 2. De modo que
imagine que se ha medido la distancia recorrida a intervalos de 0.1 segundo, como en la
tabla siguiente:
t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80
Entonces, por ejemplo, calcule la velocidad promedio sobre el intervalo 2, 2.5:
velocidad promedio
15.80 9.00
2.5 2
13.6 piess
En la tabla siguiente se muestran los resultados de esos cálculos:
Intervalo 2, 3 2, 2.5 2, 2.4 2, 2.3 2, 2.2 2, 2.1
Velocidad promedio (piess) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2
d
Q{t, f(t)}
20
10 P{2, f(2)}
0 1 2 3 4 5
FIGURA 8
t
Las velocidades promedio sobre intervalos sucesivamente más pequeños parecen aproximarse
cada vez más a un número cercano a 10, y, por lo tanto, espera que la velocidad en
exactamente t 2 sea alrededor de 10 pies/s. En el capítulo 2, se define la velocidad instantánea
de un objeto en movimiento como el valor límite de las velocidades promedio sobre
intervalos cada vez más pequeños.
En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al
graficar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si
escribe d f(t), entonces f(t) es el número de pies recorridos después de t segundos. La
velocidad promedio en el intervalo 2, t es
velocidad promedio
lo cual es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ de la figura 8. La velocidad v
cuando t 2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es
decir
v lím
t l 2
distancia recorrida
tiempo transcurrido
f t f 2
t 2
f t f 2
t 2
y reconoce, a partir de la ecuación 2, que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente
a la curva en P.