Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 301
& En la figura 3 se muestra la gráfica de
la función del ejemplo 3. Ya analizamos el
crecimiento lento de los logaritmos,
de suerte que no es sorprendente que esta
proporción tienda a 0 cuando x l .
Véase también el ejercicio 70.
0
2
_1
FIGURA 3
y= ln x
Œ„x
10 000
& La gráfica de la figura 4 da una confirmación
visual del resultado del ejemplo 4. Sin
embargo, si hiciera un acercamiento muy
grande, obtendría una gráfica inexacta, porque
tan x está cercana a x cuando este último
es pequeño. Véase el ejercicio 38(d) de la
sección 2.2.
1
ln x
V EJEMPLO 3 Calcule lím .
x l s 3 x
SOLUCIÓN Dado que ln x l y s 3 x l cuando x l , puede aplicarse la regla de
l’Hospital:
Advierta que ahora el límite del segundo miembro es indeterminado del tipo 0. Pero, en lugar
de aplicar la regla de l’Hospital por segunda vez, como en el ejemplo 2, se simplifica
la expresión y se ve que una segunda aplicación es innecesaria:
EJEMPLO 4 Encuentre
ln x
lím
x l s 3 x lím
x l
lím
x l 0
tan x x
x 3
ln x
lím
x l s 3 x lím
x l
1x
23
lím
1
3 x
1x
1
3 x 23
. Véase el ejercicio 38 de la sección 2.2.
SOLUCIÓN Al observar que tanto tan x x l 0 como x 3 l 0 cuando x l 0, aplique la regla
de l’Hospital:
tan x x sec 2 x 1
lím lím
x l 0 x 3
x l 0 3x 2
Como el límite del lado derecho todavía es indeterminado del tipo 0, aplique una vez
más dicha regla:
x l
sec 2 x 1 2 sec 2 x tan x
lím lím
x l 0 3x 2 x l 0 6x
0
3
s 3 x 0
0
Puesto que lím x l 0 sec 2 x 1, simplifica el cálculo al escribir
tan x- x
y=
˛
_1 1
0
FIGURA 4
2 sec 2 x tan x
lím
x l 0 6x
1 3 lím tan x
x l 0 sec2 x lím
x l 0 x
1 3 lím tan x
x l 0 x
Puede evaluar el último límite usando ya sea la regla de l’Hospital por tercera vez o
escribiendo tan x como sen xcos x y utilizando su conocimiento de los límites trigonométricos.
Al reunir todos los pasos, obtiene
tan x x sec 2 x 1 2 sec 2 x tan x
lím lím lím
x l 0 x 3
x l 0 3x 2 x l 0 6x
1 3 lím tan x
x l 0 x
1 3 lím sec 2 x
1
x l 0 1 3
|
sen x
EJEMPLO 5 Encuentre lím
.
x l 1 cos x
SOLUCIÓN Si intenta aplicar la regla de l’Hospital a ciegas, obtendría
lím
x l
sen x
1 cos x lím
x l
cos x
sen x
¡Esto es erróneo! Aun cuando el numerador sen x l 0 cuando x l , advierta que el
denominador 1 cos x no tiende a 0, de modo que en este caso no se puede aplicar la
regla de l’Hospital.