Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 7.1 INTEGRACIÓN POR PARTES |||| 455
V EJEMPLO 3 Determine y t 2 e t dt.
SOLUCIÓN Note que t 2 se vuelve más simple cuando se deriva (mientras que e t no cambia
cuando se deriva o integra), de modo que se elige
u t 2 dv e t dt
A continuación
La integración por partes da
du 2tdt
v e t
3
y t 2 e t dt t 2 e t 2 y te t dt
La integral que se obtuvo, x te t dt, es más simple que la integral original, pero aún no es
obvio. Por lo tanto, se usa una segunda vez la integración por partes, esta vez con u t
y dv e t dt. Entonces du dt, v e t , y
y te t dt te t y e t dt
Al escribir esto en la ecuación 3, se obtiene
y t 2 e t dt t 2 e t 2 y te t dt
t 2 e t 2te t e t C
te t e t C
t 2 e t 2te t 2e t C 1
donde C 1 2C
& Un método más fácil, con números
complejos, se da en el ejercicio 50 en el
apéndice H.
V EJEMPLO 4 Evalúe y e x sen x dx.
SOLUCIÓN Ni e x ni sen x se vuelven más simples cuando se derivan, pero de cualquier manera
se prueba con u e x y dv sen x dx. Entonces du e x dx y v cos x, de modo
que la integración por partes da
4
y e x sen x dx e x cos x y e x cos x dx
La integral que se ha obtenido, x e x cos x dx, no es más simple que la original, pero por
lo menos no es más difícil. Habiendo tenido éxito en el ejemplo precedente al integrar
por partes dos veces, se persevera e integra de nuevo por partes. Esta vez se usa u e x y
dv cos x dx. Entonces du e x dx, v sen x, y
5
y e x cos x dx e x sen x y e x sen x dx
A primera vista, parece como si no se hubiera hecho nada porque se llegó a x e x sen x dx,
que es donde se inició. Sin embargo, si coloca la expresión para x e x cos x dx de la
ecuación 5 en la ecuación 4, se obtiene
y e x sen x dx e x cos x e x sen x y e x sen x dx