Cálculo de Una Variable, 6a ed

614 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
(d) Suponga que en el tiempo t 0 hay 1 000 pulgones y 200
mariquitas. Dibuje la trayectoria de fase correspondiente y
empléela para describir cómo cambian ambas poblaciones.
(e) Use el inciso (d) para construir bosquejos aproximados de
las poblaciones de pulgones y mariquitas como funciones
de t. ¿Cómo se relacionan las gráficas entre sí?
9. En el ejemplo 1 se emplearon las ecuaciones de Lotka-Volterra
para modelar poblaciones de conejos y lobos. Modifique las
ecuaciones como sigue:
(a) De acuerdo con estas ecuaciones, ¿qué sucede con la población
de conejos en ausencia de lobos?
W
70
60
50
40
dR
dt
dW
dt
800
0.08R1 0.0002R 0.001RW
0.02W 0.00002RW
1000 1200 1400
1600
R
CAS
(b) Encuentre las soluciones de equilibrio y explique su
importancia.
(c) En la figura se muestra la trayectoria de fase que empieza
en el punto 1 000, 40. Describa qué sucede finalmente con
las poblaciones de conejos y lobos.
(d) Bosqueje las gráficas de las poblaciones de conejos y lobos
como funciones del tiempo.
10. En el ejercicio 8 se modelaron poblaciones de pulgones y
mariquitas con un sistema de Lotka-Volterra. Suponga que
se modifican esas ecuaciones como sigue:
dA
dt
dL
dt
2A1 0.0001A 0.01AL
0.5L 0.0001AL
(a) En ausencia de mariquitas, ¿qué predice el modelo acerca
de los pulgones?
(b) Encuentre las soluciones de equilibrio.
(c) Determine una expresión para dLdA.
(d) Emplee un sistema computarizado algebraico para trazar un
campo direccional para la ecuación diferencial del inciso (c).
Después use el campo direccional para bosquejar el retrato
de fase. ¿Qué tienen en común las trayectorias de fase?
(e) Suponga que en el tiempo t 0 hay 1 000 pulgones y 200
mariquitas. Dibuje la trayectoria de fase correspondiente y
utilícela para describir cómo cambian ambas poblaciones.
(f) Use el inciso (e) para construir bosquejos aproximados de
las poblaciones de pulgones y mariquitas como funciones
de t. ¿Cómo se relacionan entre sí las gráficas?
REVISIÓN DE CONCEPTOS
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REPASO
1. (a) ¿Qué es una ecuación diferencial?
(b) ¿Cuál es el orden de una ecuación diferencial?
(c) ¿Qué es una condición inicial?
2. ¿Qué se puede decir acerca de las soluciones de la ecuación
y x 2 y 2 con sólo observar la ecuación diferencial?
3. ¿Qué es un campo direccional para la ecuación diferencial
y Fx, y?
4. Explique cómo funciona el método de Euler.
5. ¿Qué es una ecuación diferencial separable? ¿Cómo se
resuelve?
6. ¿Qué es una ecuación diferencial lineal de primer orden?
¿Cómo se resuelve?
7. (a) Escriba una ecuación diferencial que exprese la ley natural
de crecimiento. ¿Qué dice en términos de la rapidez de
crecimiento relativo?
(b) ¿En qué circunstancias es un modelo apropiado para el
crecimiento poblacional?
(c) ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación?
8. (a) Escriba la ecuación logística.
(b) ¿En qué circunstancias es un modelo apropiado para el
crecimiento poblacional?
9. (a) Escriba las ecuaciones de Lotka-Volterra para modelar
poblaciones de peces comestibles F y tiburones S.
(b) ¿Qué dicen estas ecuaciones acerca de cada población en
ausencia de la otra?