Cálculo de Una Variable, 6a ed

276 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
lograr estimaciones más exactas al hacer un acercamiento hacia los puntos máximo y
mínimo pero, en lugar de ello, aplique el cálculo.
(b) La función f x x 2 sen x es continua sobre 0, 2. Puesto que
f x 1 2 cos x, tiene f x 0 cuando cos x 1 2 esto ocurre cuando x 3 o
53. Los valores de f en estos puntos críticos son
f 3
3 2 sen
3
3
s3 0.684853
y
f 53 5
3
5
2 sen
3 5 s3 6.968039
3
Los valores de f en los puntos extremos son
f 0 0 y f 2 2 6.28
Si se comparan estos cuatro números y se aplica el método del intervalo cerrado,
el valor mínimo absoluto es f 3 3 s3 y el valor máximo absoluto
es f 53 53 s3. Los valores del inciso (a) sirven de comprobación.
EJEMPLO 10 El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de
1990 por el trasbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del trasbordador
durante su misión desde el lanzamiento en t 0 hasta que los cohetes auxiliares de
combustible sólido se desprenden en el instante t 126 s, está dado por
vt 0.001302t 3 0.09029t 2 23.61t 3.083
NASA
(en pies por segundo). Usando este modelo, estime los valores máximo y mínimo absolutos
de la aceleración del trasbordador entre el lanzamiento y el desprendimiento de los
cohetes auxiliares de combustible sólido.
SOLUCIÓN Se pide hallar los valores extremos no de la función de velocidad dada sino de
la función de aceleración. Por consiguiente, primero necesita derivar para encontrar la
aceleración:
at vt d dt 0.001302t 3 0.09029t 2 23.61t 3.083
0.003906t 2 0.18058t 23.61
Ahora aplique el método del intervalo cerrado a la función continua a en el intervalo
0 t 126. Su derivada es
El único número crítico se presenta cuando at 0:
Al evaluar a at en el número crítico y en los extremos, tiene
a0 23.61
at 0.007812t 0.18058
t 1 0.18058
0.007812 23.12
at 1 21.52
a126 62.87
De modo que la aceleración máxima es alrededor de 62.87 piess 2 y la aceleración mínima
es alrededor de 21.52 piess 2 .