Cálculo de Una Variable, 6a ed

7.1
INTEGRACIÓN POR PARTES
Toda regla de derivación tiene una regla de integración correspondiente. Por ejemplo, la
regla de sustitución para integración corresponde a la regla de la cadena para derivación.
La regla que corresponde a la regla del producto para derivación se llama regla para integración
por partes.
La regla del producto establece que si f y t son funciones derivables, entonces
d
f xtx f xtx txf x
dx
En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en
y f xtx txf x dx f xtx
o bien,
y f xtx dx y txf x dx f xtx
Esta ecuación se puede reordenar como
1
y f xtx dx f xtx y txf x dx
La fórmula 1 se llama fórmula para integración por partes. Quizás es más fácil recordarla
en la siguiente notación. Sea u f x y v tx. Entonces las diferenciales son
du f x dx y dv tx dx; por lo tanto, por la regla de sustitución, la fórmula para
integración por partes se convierte en
2
y udv uv y v du
EJEMPLO 1 Encuentre y x sen x dx.
SOLUCIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA 1 Suponga que se elige f x x y tx sen x. Entonces
f x 1 y tx cos x. (Para t se puede elegir cualquier derivada de t.) Así, con la
fórmula 1, se tiene
y x sen x dx f xtx y txf x dx
xcos x y cos x dx
x cos x y cos x dx
x cos x sen x C
Es aconsejable comprobar la respuesta mediante derivación. Si se hace así, se obtiene x sen
x, como se esperaba.
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