Cálculo de Una Variable, 6a ed

PROBLEMAS ADICIONALES
1. Encuentre el área de la región S x, y x 0, y 1, x 2 y 2 4y.
2. Encuentre el centroide de la región encerrada por el bucle de la curva y 2 x 3 x 4 .
3. Si la esfera de radio r se corta mediante un plano cuya distancia desde el centro de la esfera
es d, entonces la esfera se divide en dos piezas llamadas segmentos de una base. Las superficies
correspondientes se llaman zonas esféricas de una base.
(a) Determine las áreas superficiales de las dos zonas esféricas indicadas en la figura.
(b) Determine el área aproximada del océano Ártico suponiendo que su forma es
aproximadamente circular, con centro en el polo norte y “circunferencia” a 75 latitud
norte. Use r 3 960 millas para el radio de la Tierra.
(c) Una esfera de radio r se inscribe en un cilindro circular recto de radio r. Dos planos
perpendiculares al eje central del cilindro y apartados una distancia h cortan una zona
esférica de dos bases en la esfera. Muestre que el área superficial de la zona esférica es
igual al área superficial de la región que los dos planos cortan en el cilindro.
(d) La zona tórrida es la región sobre la superficie de la Tierra que está entre el trópico de
Cáncer ( 23.45 latitud norte) y el trópico de Capricornio ( 23.45 latitud sur). ¿Cuál es el
área de la zona tórrida?
d
h
4. (a) Muestre que un observador a la altura H arriba del polo norte de una esfera de radio r
puede ver una parte de la esfera que tiene un área
2r 2 H
r H
(b) Dos esferas con radios r y R se colocan de modo que la distancia entre sus centros es d,
donde d r R. ¿Dónde se debe colocar una luz sobre la línea que une los centros de
las esferas a fin de iluminar la superficie total más grande?
5. Suponga que la densidad del agua de mar, z, varía con la profundidad z debajo de la
superficie.
(a) Muestre que la presión hidrostática está gobernada por la ecuación diferencial
dP
dz zt
donde t es la aceleración debida a la gravedad. Sea P 0 y 0 la presión y la densidad en
z 0. Exprese la presión a profundidad z como una integral.
(b) Suponga que la densidad del agua de mar a la profundidad z está dada por 0e zH ,
donde H es una constante positiva. Encuentre la fuerza total, expresada como una integral,
ejercida sobre un orificio circular vertical de radio r cuyo centro se localiza a una distancia
L r debajo de la superficie.
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