Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 9.2 CAMPOS DIRECCIONALES Y MÉTODO DE EULER |||| 573
Ahora se puede bosquejar la curva solución a través del punto (0, 1) siguiendo el campo
direccional como en la figura 4. Observe que se ha dibujado la curva para que sea paralela
a segmentos de recta cercanos.
En general, suponga que se tiene una ecuación diferencial de primer orden de la forma
y Fx, y
donde Fx, y es alguna expresión en x y y. La ecuación diferencial dice que la pendiente de
una curva solución en un punto x, y sobre la curva es Fx, y. Si se dibujan segmentos de
recta cortos con pendiente Fx, y en varios puntos x, y, el resultado se llama campo direccional
(o campo de pendientes). Estos segmentos de recta indican la dirección en la
que apunta una curva solución, así que el campo direccional ayuda a ver la forma general
de estas curvas.
y
2
V EJEMPLO 1
(a) Bosqueje el campo direccional para la ecuación diferencial y x 2 y 2 1.
(b) Use el inciso (a) para bosquejar la curva solución que pasa por el origen.
_2
_1
1
0 1 2 x
SOLUCIÓN
(a) Se empieza por calcular la pendiente en varios puntos en la tabla siguiente:
-1
x 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 ...
FIGURA 5
_2
y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 . . .
y x 2 y 2 1
3 0 1 0 3 4 1 0 1 4 . . .
y
2
1
_2 _1 0 1 2 x
-1
_2
FIGURA 6
Ahora se dibujan segmentos de recta cortos con estas pendientes en estos puntos. El
resultado es el campo direccional de la figura 5.
(b) Se empieza en el origen y se va a la derecha en la dirección del segmento de recta
(que tiene pendiente 1). Se continúa con el trazo de la curva solución de modo que se
mueve paralela a los segmentos de recta cercanos. La curva solución resultante se muestra
en la figura 6. Volviendo al origen, se dibuja también la curva solución a la izquierda.
Mientras más segmentos de recta se dibujen en un campo direccional, más clara se
vuelve la ilustración. Por supuesto, es tedioso calcular pendientes y dibujar segmentos
de recta para un enorme número de puntos a mano, pero las calculadoras son muy adecuadas
para esta tarea. En la figura 7 se muestra un campo direccional más detallado
dibujado por computadora para la ecuación diferencial del ejemplo 1. Permite dibujar,
con razonable exactitud, las curvas solución mostradas en la figura 8 con intersecciones
2, 1, 0, 1 y 2.
TEC Module 9.2A muestra los campos
direccionales y las curvas solución para varias
ecuaciones diferenciales.
3
3
_3 3
_3 3
FIGURA 7
_3
FIGURA 8
_3