Cálculo de Una Variable, 6a ed

A54 |||| APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL
Las leyes de logaritmos son semejantes a las del logaritmo natural y se pueden deducir
de las leyes de exponentes (ejercicio 10).
Para derivar y log a x, escriba la ecuación como a y x. De la ecuación 14 tiene y
ln a ln x, de modo que
Como ln a es una constante, puede derivar como sigue:
d
dx log a x d dx
log a x y ln x
ln a
ln x
ln a 1
ln a
d
1
ln x
dx x ln a
18
d
dx log a x 1
x ln a
EL NÚMERO e EXPRESADO COMO UN LÍMITE
En esta sección se define e como el número tal que ln e 1. El siguiente teorema muestra
que éste es el mismo que el número e definido en la Sección 3.1. (véase ecuación 3.6.5.)
19
e lím
x l0
1 x 1x
PRUEBA Sea f(x) ln x. Entonces f(x) 1/x, de modo que f(1) 1. Pero, por la definición
de la derivada,
Como f(1) 1
f 1 h f1 f 1 x f1
f 1 lím
lím
x l0 h
x l0 x
ln1 x ln 1 1
lím
lím
x l0 x
x l0 x
lím ln1 x 1x 1
x l0
ln1 x lím ln1 x1x
x l0
Entonces, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial
e e 1 e lím x S 0 ln1x 1x lím e ln1x1x lím 1 x 1x
x l0 x l0
G
EJERCICIOS
1.
(a) Por comparación de áreas, demuestre que
1
3 ln 1.5 5
12
(b) Use la regla del punto medio con n 10 para estimar ln 1.5.
2. Consulte el ejemplo 1.
(a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
y 1/t que es paralela a la recta secante AD.
3.
(b) Use la parte (a) para demostrar que ln 2 0.66.
Por comparación de áreas, demuestre que
1
2 1 3 1 n ln n 1 1 2 1 3 1
n 1
4. (a) Por comparación de áreas, demuestre que ln 2 1 ln 3.
(b) Deduzca que 2 e 3.