Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 7.8 INTEGRALES IMPROPIAS |||| 517
63. Se sabe del ejemplo 1 que la región
x, y x 1, 0 y 1x tiene área infinita.
Demuestre que girando respecto al eje x se obtiene un sólido
con volumen finito.
64. Use la información y los datos en los ejercicios 29 y 30 de la
sección 6.4 con la finalidad de determinar el trabajo requerido
para propulsar un satélite de 1 000 kg fuera del campo gravitacional
de la Tierra.
65. Determine la velocidad de escape v 0 que se requiere para propulsar
un cohete de masa m fuera del campo gravitacional de
un planeta con masa M y radio R. Use la ley de la gravitación
de Newton (véase el ejercicio 29 en la sección 6.4) y el hecho de
que la energía cinética inicial de
necesario.
suministra el trabajo
66. Los astrónomos usan una técnica llamada estereografía estelar
para determinar la densidad de estrellas en un cúmulo estelar
de la densidad observada (bidimensional) que se puede analizar
a partir de una fotografía. Suponga que en un cúmulo esférico
de radio R la densidad de estrellas depende sólo de la distancia
r desde el centro del cúmulo. Si la densidad estelar percibida
está dada por ys, donde s es la distancia planar observada
desde el centro del cúmulo, y xr es la densidad real, se puede
mostrar que
67. Un fabricante quiere producir lámparas que duren cerca de 700
horas pero, por supuesto, algunas se queman más rápido que
otras. Sea Ft la fracción de las lámparas de la compañía
que se queman antes de t horas, así que Ft yace siempre
entre 0 y 1.
(a) Elabore una gráfica aproximada de lo que considera se podría
parecer la gráfica de F.
(b) ¿Cuál es el significado de la derivada rt Ft?
(c) ¿Cuál es el valor de x rt dt ? ¿Por qué?
0
68. Como se verá en la sección 3.8, una sustancia radiactiva decae de
manera exponencial: la masa en el tiempo t es mt m0e kt ,
donde m0 es la masa inicial y k es una constante negativa. El
tiempo de vida media M de un átomo en la sustancia es
M k y
te kt dt
0
1
2 mv 2 0
ys y R 2r
xr dr
s sr 2 2
s
Si la densidad real de estrellas en un cúmulo es
xr 1 2 R r 2 , encuentre la densidad percibida ys.
70. Estime el valor numérico de escribiéndolo como la
0 ex2 dx
suma de x 4 y x . Aproxime la primera integral
4 ex2 dx
0 ex2 dx
por medio de la regla de Simpson con n 8 y muestre que la
segunda integral es más pequeña que x , que es menor
4 e4x dx
que 0.0000001.
71. Si f t es continua para t 0, la transformada de Laplace de f
es la función de F definida por
y el dominio de F es el conjunto que consta de los números s para
los que la integral converge. Encuentre las transformadas de
Laplace de las siguientes funciones.
(a) f t 1 (b) f t e t (c) f t t
72. Muestre que si 0 f t Me at para t 0, donde M y a son
constantes, entonces la transformada de Laplace Fs existe
para s a.
73. Suponga que 0 f t Me at y 0 f t Ke at para t 0,
donde f es continua. Si la transformada de Laplace de f t es
Fs y la transformada de Laplace de f t es Gs, muestre que
x
s
74. Si f x dx es convergente y a y b son números reales, demuestre
que
y a
f x dx y
f x dx y b f x dx y
f x dx
a
b
x
75. Muestre que x 2 e x 2 dx 1 .
0 2 x 2 0 ex dx
x
Gs sFs f 0
76. Muestre que 2 interpretando las integrales
como
0 ex dx x 1 sln y dy
0
áreas
77. Determine el valor de la constante C para la cual la integral
y 1
0 sx 2 4 C dx
x 2
converge. Evalúe la integral para este valor de C.
78. Encuentre el valor de la constante C para la cual la integral
x
x 2 1 C dx
3x 1
y
0
Fs y
f te st dt
a
converge. Evalúe la integral para este valor de C.
x
0
69.
Para el isótopo de carbono radiactivo,
14 C, emplee el fechado
con radiocarbono, el valor de k is 0.000121. Determine el
tiempo de vida media de un átomo de .
Determine cúan grande tiene que ser el número
y
a
14 C
a
1
dx 0.001
x 2 1
para que
79. Considere que f es continua en 0, y lím xl fx 1. ¿Es
posible que x f x dx sea convengente?
0
80. Demuestre que si a 1 y b a 1, en tal caso la integral
siguiente es convergente
y
0
x a
1 x b dx