Cálculo de Una Variable, 6a ed

538 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
26. Si la curva infinita y e x , x 0, se hace girar respecto al eje
x, encuentre el área de la superficie resultante.
27. (a) Si a 0, encuentre el área de la superficie generada
al hacer girar el bucle de la curva
respecto al eje x.
(b) Determine el área superficial si el bucle se hace girar
respecto al eje y.
28. Un grupo de ingenieros está construyendo un plato de
satélite parabólico cuya forma se constituye al hacer girar
la curva respecto al eje y. Si el plato tendrá un
diámetro de 10 pies y una profundidad máxima de 2 pies,
encuentre el valor de a y el área superficial del plato.
29. (a) La elipse
y ax 2 3ay 2 xa x 2
x 2
a 2 y 2
b 2 1
a b
se hace girar respecto al eje x para formar una superficie
llamada elipsoide, o prolato esferoidal. Determine el área
superficial de este elipsoide.
(b) Si la elipse del inciso (a) gira con respecto a su eje menor
(el eje y), la elipsoide resultante se le conoce como esferoide
achatada. Hallar el área de la superficie de esta elipsoide
30. Calcule el área superficial del toroide del ejercicio 63 en la
sección 6.2.
31. Si la curva y f x, a x b, se hace girar respecto a
la recta horizontal y c, donde f x c, encuentre una
fórmula para el área de la superficie resultante.
CAS
32. Use el resultado del ejercicio 31 para establecer una integral
que permita hallar el área de la superficie generada al hacer
girar la curva y sx, 0 x 4, respecto a la recta y 4.
Después, use un CAS para evaluar la integral.
33. Encuentre el área de la superficie obtenida al hacer girar el
círculo x 2 y 2 r 2 respecto a la recta y r.
34. Muestre que el área superficial de una zona de la esfera que
yace entre dos planos paralelos es S dh, donde d es el
diámetro de la esfera y h es la distancia entre los planos.
(Observe que S sólo depende de la distancia entre los
planos y no sobre su ubicación, siempre que ambos planos
intersequen la esfera.)
35. La fórmula 4 es válida sólo cuando f x 0. Muestre que
cuando f x no necesariamente es positiva, la fórmula para el
área superficial se transforma en
36. Sea L la longitud de la curva y f x, a x b,
donde f es positiva y tiene una derivada continua. Sea S f
el área superficial generada al hacer girar la curva respecto
al eje x. Si c es una constante positiva, defina tx f x c
y sea S t el área superficial correspondiente generada por
la curva y tx, a x b. Exprese S t en términos
de y L.
S f
S y b
a
2
f x s1 f x 2 dx
PROYECT0 PARA UN
DESCUBRIMIENTO
ROTACIÓN SOBRE UNA PENDIENTE
Se sabe cómo hallar el volumen de un sólido de revolución obtenido al hacer girar una región
respecto a una recta horizontal o vertical (véase la sección 6.2). También se sabe cómo determinar
el área de una superficie de revolución si se gira una curva respecto a una recta horizontal o
vertical (véase la sección 8.2). Pero, ¿qué pasa si se hace girar una recta inclinada, es decir, una
recta que no sea horizontal ni vertical? En este proyecto se pide descubrir fórmulas para el
volumen de un sólido de revolución y para el área de una superficie de revolución cuando
el eje de rotación es una recta inclinada.
Sea C el arco de la curva y f x entre los puntos Pp, f p y Qq, f q y sea la región
limitada por C, por la recta y mx b (la cual está totalmente por debajo de C), y por las
perpendiculares a la recta de P y Q.
y
y=ƒ
Q
P
C
y=mx+b
Îu
0 p
q
x