Cálculo de Una Variable, 6a ed

656 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
y
¥+10x=0
Si se intercambian x y y en 1, se obtiene
2
y 2 4px
5
”_ , 0 ’ 2
FIGURA 5
0 x
x= 5 2
que es una ecuación de la parábola con foco en p, 0 y directriz x p. (Intercambiar x y
y equivale a reflejar respecto a la diagonal y x.) La parábola se abre hacia la derecha si
p 0 y hacia la izquierda si p 0 [véase fig. 4, incisos (c) y (d)]. En ambos casos, la gráfica
es simétrica con respecto al eje x, que es el eje de la parábola.
EJEMPLO 1 Encuentre el foco y la directriz de la parábola y 2 10x 0 y bosqueje la
gráfica.
SOLUCIÓN Si se escribe la ecuación como y 2 10x y se compara con la ecuación 2, se
ve que 4p 10, de modo que p 5 . Así, el foco es p, 0 ( 5 2, 0) y la directriz
es x 5 2
2. El bosquejo se muestra en la figura 5.
ELIPSES
Una elipse es el conjunto de puntos en un plano y la suma de sus distancias desde dos puntos
fijos F 1 y F 2 es una constante véase fig. 6. Estos dos puntos fijos se llaman focos (plural
de lugar geométrico). Una de las leyes de Kepler es que las órbitas de los planetas en el
sistema solar son elipses con el Sol en un foco.
P
y
P(x, y)
F¡ F
F¡(_c, 0)
0 F(c, 0) x
FIGURA 6
FIGURA 7
A fin de obtener la ecuación más simple para una elipse, se colocan los focos en el eje
x en los puntos c, 0 y c, 0 como en la figura 7, de modo que el origen esté a la mitad
entre los focos. Sea 2a 0 la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos,
en este caso px, y es un punto de la elipse cuando
PF 1 PF 2 2a
es decir,
o bien
sx c 2 y 2 sx c 2 y 2 2a
sx c 2 y 2 2a sx c 2 y 2
Al elevar al cuadrado ambos lados, se tiene
x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4asx c 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2
que se simplifica a asx c 2 y 2 a 2 cx
De nuevo se eleva al cuadrado:
a 2 x 2 2cx c 2 y 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2
que se transforma en a 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 2 a 2 c 2