Cálculo de Una Variable, 6a ed

536 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
& En la figura 7 se muestra una superficie
de revolución cuya área se calcula como en el
ejemplo 2.
y
(2, 4)
V EJEMPLO 2 El arco de la parábola de (1, 1) a (2, 4) se hace girar respecto al
eje y. Encuentre el área de la superficie resultante.
SOLUCIÓN 1 Si se emplea
se tiene, de la fórmula 8,
y x 2 y x 2
y
dy
dx 2x
y=≈
S y 2x ds
0
1 2
x
y 2
1
2x 1
dx
dy 2
dx
FIGURA 7
y 2
1
x s1 4x 2 dx
Al sustituir u 1 4x , se tiene
2du 2 8x dx. Sin olvidar cambiar los límites de
integración, se tiene
S
4 y17 5
su du
4 [ 2 3u 32 ] 5
17
& Para comprobar de la respuesta al
ejemplo 2, observe en la figura 7 que el área
superficial debe ser cercana a la de un cilindro
circular con la misma altura y radio a la mitad
entre el radio superior e inferior de la superficie:
. Se calculó que el área
superficial era
2 1.53 28.27
(17s17 5s5) 30.85
6
que parece razonable. De manera alternativa,
el área superficial debe ser un poco más grande
que el área de un tronco de cono con la misma
base y tapa. De la ecuación 2, esto es
.
2 1.5(s10) 29.80
SOLUCIÓN 2 Si se emplea
se tiene
S y 2x ds y 4
1
6
x sy
(17s17 5s5)
y
2x 1
dy
dx 2
dy
dx
dy 1
2sy
2 y 4
sy 1 1
1 4y dy y 4
s4y 1 dy
1
(donde u 1 4y )
4 y17 su du
5
6 (17s17 5s5)
(como en la solución 1)
V EJEMPLO 3 Encuentre el área de la superficie generada al hacer girar la curva y e x ,
0 x 1, respecto al eje x.
SOLUCIÓN Al emplear la fórmula 5 con
& Otro método: emplee la fórmula 6 con
x ln y.
y e x
y
dy
dx e x