Cálculo de Una Variable, 6a ed

476 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Al resolver el sistema se obtiene A 1 , B 1 , y C 1 2 5
10, y, por lo tanto,
& Se podría comprobar el trabajo llevando los
términos a un factor común y sumándolos.
& En la figura 1 se muestran las gráficas
del integrando del ejemplo 2 y su integral
indefinida (con K 0). ¿Cuál es cuál?
2
y
x 2 2x 1
2x 3 3x 2 2x dx y 1 2
1
x 1 5
1
2x 1 1
10
1
x 2 dx
1 2 ln x 1 10 ln 2x 1 1 10 ln x 2 K
En la integración del término medio se ha hecho la sustitución mental u 2x 1, que
da du 2 dx y dx du2.
_3
FIGURA 1
_2
3
NOTA Se puede usar otro método para hallar los coeficientes de A, B y C en el ejemplo
2. La ecuación cuatro es una identidad; se cumple para todo valor de x. Seleccione
valores de x que simplifiquen la ecuación. Si x 0 en la ecuación 4, entonces los
términos segundo y tercero del lado derecho desaparecen y la ecuación se convierte en
2A 1, o bien A 1 . Del mismo modo, x 1 da 5B4 1 2
2
4 y x 2 da 10C 1, por
lo tanto B 1 y C 1 5
10. (Se podría objetar que la ecuación 3 no es válida para x 0,
1
2, o 2, de este modo ¿por qué la ecuación 4 debe ser válida para estos valores? De
1
hecho, la ecuación 4 es cierta para todos los valores de x, incluso x 0, 2, y 2. Véase
en el ejercicio 69 la razón).
dx
EJEMPLO 3 Hallar y , donde a 0.
x 2 a 2
SOLUCIÓN El método de fracciones parciales da
1
x 2 a 1
2 x ax a
A
x a
B
x a
y, por lo tanto
Ax a Bx a 1
Con el método de la nota precedente, se escribe x a en esta ecuación y se obtiene
A2a 1, así que A 12a. Si se escribe x a, se obtiene B2a 1, por lo
tanto, B 12a. Así,
y
dx
x 2 a 1
2 2a
y 1
x a 1 dx
x a
1
2a (ln x a ln x a ) C
Puesto que ln x ln y lnxy, se puede escribir la integral como
6
y
dx
x 2 a 1
2 2a
ln x a
x a
C
Véase en los ejercicios 55-56 las formas de usar la fórmula 6.
CASO II & Qx es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Suponga que el primer factor lineal a se repite veces; es decir, a 1 x b 1 r
1 x b 1 r
aparece en la factorización de Qx. Por lo tanto en lugar del término simple A 1 a 1 x b 1