Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 9.1 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES |||| 571
9.1
EJERCICIOS
1. Muestre que y x x 1 es una solución de la ecuación
diferencial xy y 2x.
2. Compruebe que y sen x cos x cos x es una solución del
problema con valores iniciales
y tan xy cos 2 x
en el intervalo 2 x 2.
y0 1
3. (a) ¿Para qué valores de r la función y e rx satisface la ecuación
diferencial 2y y y 0?
(b) Si r 1 y r 2 son los valores de r que halló en el inciso (a),
demuestre que cualquier integrante de la familia de
funciones y ae r1x be r2x también es una solución.
4. (a) ¿Para qué valores de k la función y cos kt satisface la
ecuación diferencial 4y 25y ?
(b) Para esos valores de k, verifique que cualquier integrante de
la familia de las funciones y A sen kt B cos kt también
es una solución.
5. ¿Cuáles de las siguientes funciones son soluciones de la ecuación
diferencial y y sen x?
(a) y sen x
(b) y cos x
(c) y 1 x sen x
(d) y 1 x cos x
2 2
6. (a) Muestre que cualquier integrante de la familia de funciones
y ln x C/x es una solución de la ecuación diferencial
x 2 yxy 1.
; (b) Ilustre el inciso (a) graficando diferentes integrantes de la
familia de soluciones en una pantalla común.
(c) Encuentre una solución de la ecuación diferencial que
satisface la condición inicial y1 2.
(d) Determine una solución de la ecuación diferencial que
satisface la condición inicial y2 1.
7. (a) ¿Qué puede decir acerca de una solución de la ecuación
y y 2 observando sólo la ecuación diferencial?
(b) Compruebe que los integrantes de la familia
y 1x C son soluciones de la ecuación del inciso (a).
(c) ¿Puede pensar en una solución de la ecuación diferencial
y y 2 que no sea un miembro de la familia del inciso (b)?
(d) Encuentre una solución del problema con valores iniciales
y y 2 y0 0.5
8. (a) ¿Qué se puede decir acerca de la gráfica de una solución de
la ecuación y xy 3 cuando x es cercana a 0? ¿Qué pasa si
x es grande?
(b) Compruebe que los integrantes de la familia
y c x 2 12 son soluciones de la ecuación
diferencial y xy 3 .
; (c) Grafique diferentes integrantes de la familia de soluciones
en una pantalla común. ¿Las gráficas confirman lo que
predijo en el inciso (a)?
(d) Encuentre una solución del problema con valores iniciales.
y xy 3 y0 2
9. Una población se representa mediante una ecuación diferencial
dP
1.2P1
P
dt
4200
(a) ¿Para qué valores de P la población es creciente?
(b) ¿Para qué valores de P la población es decreciente?
(c) ¿Cuáles son las soluciones de equilibrio?
10. Una función yt satisface la ecuación diferencial
11.
(a) ¿Cuáles son las soluciones constantes de la ecuación?
(b) ¿Para qué valores de y crece y?
(c) ¿Para qué valores de y decrece y?
Explique por qué las funciones con las gráficas dadas no
pueden ser soluciones de la ecuación diferencial
(a)
y
1
12. La función con la gráfica dada es una solución de una de las
siguientes ecuaciones diferenciales. Decida cuál es la ecuación
correcta y justifique su respuesta.
y
A. y 1 xy B. y 2xy C. y 1 2xy
13. Los psicólogos interesados en teoría de aprendizaje estudian
curvas de aprendizaje. Una curva de aprendizaje es la gráfica
de una función Pt, el desempeño de alguien que aprende
una habilidad como una función del tiempo de capacitación t.
La derivada dPdt representa la rapidez a la que mejora el
desempeño.
(a) ¿Cuándo considera que P se incrementa con más rapidez?
¿Qué sucede con dPdt cuando t crece? Explique.
(b) Si M es el nivel máximo de desempeño del cual es capaz el
alumno, explique por qué la ecuación diferencial
dP
dt
1
kM P
dy
dt y 4 6y 3 5y 2
dy
dt e t y 1 2
0 x
k es una constante positiva
es un modelo razonable para aprender.
t
(b)
y
1
1
t