Cálculo de Una Variable, 6a ed

520 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CAS
67. La lectura del velocímetro (v) en un automóvil se observó a intervalos
de 1 minuto y se registró en una tabla. Use la regla de Simpson
para estimar la distancia que recorrió el automóvil.
68. Una población de abejas se incrementó en una proporción de
rt abejas por semana, donde la gráfica de r es como se
muestra. Use la regla de Simpson con seis subintervalos para
estimar el incremento en la población de abejas durante las
primeras 24 semanas.
69. (a) Si f x sensen x, emplee una gráfica para hallar una
cota superior para f 4 x.
(b) Use la regla de Simpson con n 10 para aproximar
f x dx y emplee el inciso (a) para estimar el error.
0
(c) ¿Qué tan grande debe ser n para garantizar que el tamaño del
error al usar sea menor que 0.00001?
x
r
12 000
t (min) v (mih) t (min) v (mih)
8 000
4 000
0 40 6 56
1 42 7 57
2 45 8 57
3 49 9 55
4 52 10 56
5 54
0 4 8 12 16 20 24 t
(semanas)
S n
70. Suponga que se pide estimar el volumen de un balón de futbol
americano. Al hacer la medición encuentra que un balón de
futbol mide 28 cm de largo. Con una cuerda determina que la
circunferencia en su punto más amplio mide 53 cm. La circunferencia
a 7 cm de cada extremo es 45 cm. Use la regla de
Simpson para hacer su estimación.
28 cm
71. Use el teorema de comparación para determinar si la integral
es convergente o divergente.
72. Encuentre el área de la región acotada por la hipérbola
y 2 x 2 1 y la recta y 3.
73. Encuentre el área acotada por las curvas y cos x y y cos 2 x
entre x 0 y x .
74. Encuentre el área de la región acotada por las curvas
y 1(2 sx) , y 1(2 sx) , y x 1.
75. La región bajo la curva y cos 2 x, 0 x 2, se hace girar respecto
al eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.
76. La región del ejercicio 75 se hace girar respecto al eje y. Determine
el volumen del sólido resultante.
77. Si f es continua en 0, y lím x l f x 0, muestre que
y
f x dx f 0
0
78. Se puede extender la definición de valor promedio de una función
continua a un intervalo infinito definiendo el valor promedio
de f en el intervalo a, como
lím
t l
(a) Encuentre el valor promedio de y tan 1 x en el intervalo
0, .
(b) Si f x 0 y la x f x dx
a es divergente, muestre que el
valor promedio de f en el intervalo a, es lím x l f x, si
existe este límite.
(c) Si x f x dx es convergente, ¿cuál es el valor promedio de
a
f en el intervalo a, ?
(d) Encuentre el valor promedio de y sen x en el intervalo
0, .
79. Use la sustitución u 1x para mostrar que
y
0
y
1
x 3
x 5 2 dx
1
t a yt a
f x dx
ln x
1 x 2 dx 0
80. La magnitud de la fuerza repulsiva entre dos cargas puntuales
con el mismo signo, una de tamaño 1 y la otra de tamaño q, es
F
q
4 0r 2
donde r es la distancia entre las cargas y 0 es una constante.
El potencial V en un punto P debido a la carga q se define como
el trabajo invertido para llevar una carga unitaria a P desde
el infinito a lo largo de la recta que une a q y P. Encuentre una
fórmula para V.