Cálculo de Una Variable, 6a ed

616 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
9–11 Resuelva el problema con valores iniciales.
dr
9. , r0 5
dt 2tr r
10. 1 cos xy 1 e y sen x,
11. xy y x ln x,
; 12. Resuelva el problema con valores iniciales y 3x 2 e y , y0 1,
y grafique la solución.
13–14 Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas.
13. y ke x 14. y e kx
15. (a) Escriba la solución del problema con valores iniciales
dP
dt
y1 2
0.1P1
y0 0
2000 P P0 100
y aplíquela para hallar la población cuando
(b) ¿Cuando la población alcanza 1200?
t 20
16. (a) La población del mundo era de 5.28 miles de millones en
1990 y 6.07 miles de millones en 2000. Encuentre un modelo
exponencial para estos datos, y utilícelo para predecir la
población mundial del año 2020.
(b) De acuerdo con el modelo del inciso (a), ¿cuándo la
población mundial excederá los 10 000 millones?
(c) Use los datos del inciso (a) para hallar un modelo logístico
de la población. Suponga una capacidad de soporte de
100 000 millones. Después use el modelo logístico para
predecir la población en 2020. Compare con su predicción
del modelo exponencial.
(d) De acuerdo con el modelo logístico, ¿cuándo la población
mundial rebasará los 10 000 millones? Compare con su
predicción del inciso (b).
17. El modelo de crecimiento de von Bertalanffy se usa para predecir
la longitud Lt de un pez en un periodo. Si L es la longitud
mayor para una especie, por lo tanto la hipótesis es que la rapidez
de crecimiento de longitud es proporcional a L L, la longitud
por alcanzar.
(a) Formule y resuelva una ecuación diferencial a fin de hallar
una expresión para Lt.
(b) Para la merluza del mar del Norte se ha determinado que
L 53 cm, L0 10 cm, y la constante de proporcionalidad
es 0.2. ¿En qué se convierte la expresión para Lt con
estos datos?
18. Un tanque contiene 100 L de agua pura. Salmuera que contiene
0.1 kg de sal por litro entra al recipiente con una proporción de
10 L/min. La solución se mantiene mezclada por completo y
sale del tanque a la misma proporción. ¿Cuánta sal hay en el
tanque después de 6 minutos?
19. Un modelo para la dispersión de una epidemia es que la rapidez
de dispersión es conjuntamente proporcional al número de
personas infectadas y al número de personas no infectadas. En
un pueblo aislado con 5000 pobladores, 160 personas tienen una
enfermedad al comienzo de la semana y 1 200 la tienen al final
de la semana. ¿En cuánto tiempo se infecta 80% de la población?
20. La Ley de Brentano-Stevens en psicología, modela la forma en
que un sujeto reacciona a un estímulo. La ley expresa que si R
representa la reacción a una cantidad S de estímulo, en tal caso
las cantidades relativas de incremento son proporcionales:
donde k es una constante positiva. Determine R como una
función de S.
21. El transporte de una sustancia por una pared capilar en fisiología
pulmonar ha sido modelado mediante la ecuación diferencial
dh
R h
dt V k h
donde h es la concentración de hormonas en el torrente
sanguíneo, t es el tiempo, R es la tasa de transporte máximo,
V es el volumen del capilar y k es una constante positiva que
mide la afinidad entre las hormonas y las enzimas que ayudan
al proceso. Resuelva esta ecuación diferencial para hallar una
relación entre h y t.
22. Las poblaciones de aves e insectos se modelan por medio de
las ecuaciones
(a) ¿Cuál de las variables, x o y, representa la población de aves
y cuál representa la población de insectos? Explique.
(b) Determine las soluciones de equilibrio y explique su
importancia.
(c) Encuentre una expresión para dydx.
(d) Se muestra el campo direccional para la ecuación diferencial
del inciso (c). Utilícelo para bosquejar la trayectoria de
y
400
300
200
100
dx
dt
dy
dt
1
R
dR
dt
k S
dS
dt
0.4x 0.002xy
0.2y 0.000008xy
0 20 000 40 000 60 000 x