Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR |||| 751
2.5
0
T
y=œ# œxœ
„
FIGURA 2
0.0003
y=|R(x)|
15
Con la ayuda de una calculadora para trazar gráficas o de una computadora compruebe
el cálculo del ejemplo 1. En la figura 2 se muestra que las gráficas de y s 3 x y y T 2 x
están muy cercanas entre sí cuando x está cerca de 8. En la figura 3 se ilustra la gráfica de
calculada a partir de la expresión
R 2x
A partir de la gráfica:
R 2x s 3 x T 2 x
R 2x 0.0003
cuando 7 x 9. Así, la estimación de error mediante métodos gráficos es ligeramente
mejor que cuando se hace a partir de la desigualdad de Taylor, en este caso.
V EJEMPLO 2
(a) ¿Cuál es el error máximo posible al utilizar la aproximación
7 9
0
FIGURA 3
sen x x x 3
3! x 5
5!
cuando 0.3 x 0.3? Utilice esta aproximación para calcular sen 12 con seis cifras
decimales.
(b) ¿Para qué valores de x esta aproximación no difiere en más de 0.00005 del valor
real?
SOLUCIÓN
(a) Observe que la serie de Maclaurin
sen x x x 3
3! x 5
5! x 7
7!
es alternante para todos los valores no cero de x, y los términos sucesivos decrecen en tamaño
porque x 1, de modo que puede usar el teorema de estimación de la serie
alternante. El error en la aproximación de sen x por medio de los tres términos de su
serie de Maclaurin es cuando mucho
x 7
7!
x 7
5040
Si 0.3 x 0.3 , entonces , de modo que el error es más pequeño que
x 0.3
0.3 7
5040
4.3 108
Para calcular sen 12° primero convierta a radianes.
sen 12 sen 12
180 sen
15
15
15
3 1
3!
15
5 1
5!
0.20791169
Por esto, con seis dígitos decimales, sen 12 0.207912.
(b) El error será menor que 0.00005 si
x 7
5040 0.00005