Cálculo de Una Variable, 6a ed

290 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
¿QUÉ DICE f CON RESPECTO A f ?
En la figura 5 se ilustran las gráficas de dos funciones crecientes en a, b. Ambas gráficas
unen el punto A con el punto B, pero lucen distintas porque se flexionan en direcciones
diferentes. ¿Cómo se puede distinguir entre estos dos tipos de comportamientos?
En la figura 6, las tangentes a estas curvas se han dibujado en diferentes puntos. En (a) la
curva queda por arriba de las tangentes y se dice que f es cóncava hacia arriba en a, b. En
(b), la curva se sitúa abajo de las tangentes y entonces se dice que t es cóncava hacia
abajo en a, b.
y
B
y
B
f
g
A
A
0 a
b x
0 a b
x
FIGURA 5
(a)
(b)
y
B
y
B
f
g
A
A
0
x
0
x
FIGURA 6
(a) Cóncava hacia arriba
(b) Cóncava hacia abajo
DEFINICIÓN Si la gráfica de f queda por arriba de todas sus tangentes en un intervalo
I, entonces se dice que es cóncava hacia arriba en I. Si la gráfica de f queda por
abajo de todas sus tangentes en I, se dice que es cóncava hacia abajo en I.
En la figura 7 se muestra la gráfica de una función que es cóncava hacia arriba (abreviado
CA) en los intervalos b, c, d, e y e, p y cóncava hacia abajo (CAB) en los intervalos
a, b, c, d y p, q.
y
B
C
D
P
0
a b c d e p q
x
FIGURA 7
CAB CA CAB CA CA CAB
Vea cómo la segunda derivada ayuda a determinar los intervalos de concavidad. Al
inspeccionar la figura 6(a) se puede ver que se incrementa, de izquierda a derecha, la
pendiente de la tangente.