Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN |||| 159
Para utilizar lo que acaba de probar, parta de fx y súmele y réstele fa:
lím f x lím f a f x f a
x l a x l a
lím
x l a
f a lím
x l a
f x f a
f a 0 f a
En consecuencia, f es continua en a.
| NOTA El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas pero
no son derivables. Por ejemplo, la función fx x es continua en 0 porque
lím f x lím x 0 f 0
x l 0 x l 0
(Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero, en el ejemplo 5 demostró que f no es
derivable en 0.
¿CÓMO DEJA DE SER DERIVABLE UNA FUNCIÓN?
y
recta tangente
vertical
En el ejemplo 5 vio que la función y x no es derivable en 0 y en la figura 5(a) muestra
que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x 0. En general, si la gráfica
de una función f tiene “esquinas” o “rizos”, la gráfica de f no tiene tangente en esos puntos y
f no es derivable allí. Al intentar calcular fa, encuentra que los límites por la izquierda
y por la derecha son diferentes.
El teorema 4 señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma que
si f no es continua en a, después f no es derivable en a. Por ende, en cualquier discontinuidad
(por ejemplo, una discontinuidad por salto), f deja de ser derivable.
Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x
a; es decir, f es continua en a y
0
a
x
lím f x
x l a
FIGURA 6
Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x l a. En
la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7(c) ilustra otra. Las
tres posibilidades recién analizadas se ilustran en la figura 7.
y
y
y
FIGURA 7
Tres maneras para que ƒ no sea
derivable en a
0 a x 0
a x 0
a x
(a) Una esquina o rizo (b) Una dicontinuidad (c) Una tangente vertical
Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabilidad.
Si f es derivable en a, por lo tanto, con un acercamiento al punto a, fa, la gráfica
se endereza y adquiere más y más la apariencia de un recta. (Véase la figura 8. Un ejemplo