Cálculo de Una Variable, 6a ed

4 |||| PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO
EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
y
P
t
y=ƒ
Considere el problema de tratar de hallar la ecuación de la recta tangente t a una curva,
con ecuación y f(x), en un punto dado P. (En el capítulo 2, aparece una definición
precisa de recta tangente. Por ahora, puede concebirla como una recta que toca la curva
en P, como en la figura 5.) Como saber que el punto P está en la recta tangente, puede
hallar la ecuación de t si conoce su pendiente m. El problema está en que necesita dos
puntos para calcular la pendiente y sólo conoce un punto, P, de t. Para darle vuelta al problema,
primero halle una aproximación para m al tomar un punto cercano Q de la curva
y calcule la pendiente m PQ de la recta secante PQ. En la figura 6
0
FIGURA 5
La recta tangente en P
y
t
x
1
m PQ
f x f a
x a
Imagine ahora que Q se mueve a lo largo de la curva, hacia P como en la figura 7. Puede
ver que la recta secante gira y se aproxima a la recta tangente como su posición límite. Esto
significa que la pendiente m PQ de la recta secante se acerca cada vez más a la pendiente
m de la recta tangente. Escriba
P{a, f(a)}
Q{x, ƒ}
ƒ-f(a)
m lím
Q lP
m PQ
x-a
donde m es el límite de m PQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Como x se
acerca a a cuando Q lo hace a P, podría usar también la ecuación 1 para escribir
0 a x
x
FIGURA 6
La recta secante PQ
2
m lím
x l a
f x f a
x a
y
t
Q
P
0 x
En el capítulo 2 se darán ejemplos específicos de este procedimiento.
El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo diferencial,
el cual se inventó más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las ideas
principales que se encuentran detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés
Pierre Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John
Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727), así como por
el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716).
Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de
la tangente, parecen muy diferentes, pero existe una conexión muy íntima entre ellas. El
problema de la tangente y el del área son problemas inversos, en un sentido que se descubrirá
en el capítulo 5.
FIGURA 7
Rectas secantes aproximándose
a la recta tangente
VELOCIDAD
Cuando mire el velocímetro de un automóvil y lea que viaja a 48 mih, ¿qué información
se le indica? Sabe que la velocidad del automóvil puede variar, ¿qué significa decir
que la velocidad en un instante dado es de 48 mih?
Para analizar esta cuestión analice el movimiento de un automóvil que viaja a lo largo de
un camino recto y suponga que pueda medir la distancia recorrida por el automóvil (en pies)
a intervalos de 1 segundo, como en la tabla siguiente.
t Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5
d Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71