Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 7.3 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA |||| 471
Aunque las fórmulas 1 y 2 se ven bastante diferentes, en realidad son equivalentes por la
fórmula 3.11.4.
NOTA Como se ilustra en el ejemplo 5, las sustituciones hiperbólicas se pueden usar
en lugar de las sustituciones trigonométricas y, algunas veces, conducen a respuestas más
simples. Pero por lo general se usan sustituciones trigonométricas porque las identidades
trigonométricas son más familiares que las identidades hiperbólicas.
EJEMPLO 6 Encuentre .
0 4x 2 32
dx
9
SOLUCIÓN Primero se nota que 4x 2 9 32 s4x 2 9) 3 , de modo que la sustitución
trigonométrica es apropiada. Aunque s4x 2 9 no es realmente una de las expresiones
de la tabla de sustituciones trigonométricas, se convierte en una de ellas si se realiza la
sustitución preliminar u 2x. Cuando se combina esto con la sustitución de la tangente,
se tiene x 3 , que da dx 3 2 sec 2 2 tan
d y
Cuando x 0, tan 0, por lo tanto ; cuando x 3s32, tan s3, así que
.
3
y 3 s32
x 3
s4x 2 9 s9 tan 2 9 3 sec
0
y 3 s32
0
x 3
4x 2 9 dx y
32 0
3
27
8 tan 3
27 sec 3
3
2 sec 2 d
Ahora se sustituye u cos de modo que du sen d. Cuando , u 1;
cuando
. Por lo tanto,
3, u 1 2
y 3 s32
0
3 3 tan
16 y
3
0 sec
3 3
16 y0
x 3
4x 2 9 dx 3 32 16 y 12 1 u 2
1
1 cos 2
cos 2 sen d
du 3
u 2 16 y 12
1
12
d 3 16 y
0
3
sen 3
cos 2
d
0
1 u 2 du
3 16 u 1 u1
x
EJEMPLO 7 Evalúe y
.
s3 2x x dx 2
3 16 [( 1 2 2) 1 1] 3 32
SOLUCIÓN Se puede transformar el integrando en una función para la cual la sustitución
trigonométrica es apropiada, completando primero el cuadrado bajo el signo de la raíz:
3 2x x 2 3 x 2 2x 3 1 x 2 2x 1
Esto hace pensar en que se realice la sustitución u x 1. Después du dx y
x u 1, de esa manera,
y
4 x 1 2
x
s3 2x x 2 dx y
u 1
s4 u 2 du