Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 297
CAS
58. f x x 3 x 2 4
59–60 Estime los intervalos de concavidad hasta una cifra decimal
con un sistema algebraico para computadora con el fin de calcular
y trazar la gráfica de f.
59. 60. f x x2 tan 1 x
f x x4 x 3 1
sx 2 x 1
1 x 3
61. Se conoce una gráfica de la población de células de levadura en
un cultivo de laboratorio reciente como una función del tiempo
(a) Describa cómo varía la rápidez de incremento de población.
(b) ¿Cuándo es más alta la rápidez?
(c) ¿En qué intervalos la función población es cóncava hacia
arriba o hacia abajo?
(d) Estimar las coordenadas del punto de inflexión
700
600
500
Número
de celdas 400
de levadura 300
200
100
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Tiempo (en horas)
62. Sea ft la temperatura en el tiempo t donde habita y considera
que en el tiempo t 3 se siente incomodo por lo caluroso. ¿Cómo
se sente con respecto a la información que se proporciona
en cada caso?
(a) f (3) 2, f (3) 4 (b) f (3) 2, f (3) 4
(c) f (3) 2, f (3) 4 (d) f (3) 2, f (3) 4
63.
64.
Sea Kt una medida de los conocimientos que obtiene usted al
estudiar para un examen durante t horas. ¿Cuál opina usted que
es más grande, K8 K7 o K3 K2? ¿La gráfica de K es
cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? ¿Por qué?
Se vierte café en la jarrita que se ilustra en la figura a una rapidez
constante (medida en volumen por unidad de tiempo). Trace una
gráfica aproximada del espacio ocupado por el café como función
del tiempo. Explique la forma de la gráfica en términos de
la concavidad. ¿Cuál es el significado del punto de inflexión?
; 65. Una curva de respuesta a un medicamento describe los niveles
de dosificación en el torrente sanguíneo después de que se ha
administrado un medicamento. Con frecuencia se aplica una
función de onda de impulso S(t) At p e kt para representar la
curva de respuesta, revelando una oleada inicial en el nivel de
medicamento y a continuación una declinación gradual. Si, para
un medicamento particular, A 0.01, p 4, k 0.07, y t se
mide en minutos, estimar el tiempo correspondiente a los puntos
de inflexión y explique su significado. Si tiene un dispositivo
graficador, utilícelo para dibujar la curva de respuesta.
66. La familia de curvas acampanadas
y 1
s2
se presenta en probabilidad y estadística y se le denomina
función de densidad normal. La constante m se conoce como
media y la constante positiva s es la desviación estándar. Por
sencillez, cambie la escala de la función de modo que se elimine
el factor 1(s2) y analice el caso especial donde . Por
lo tanto, estudie la función
f x e x 2 2
2
(a) Encuentre la asíntota, el valor máximo y los puntos de inflexión
de f.
(b) ¿Qué función desempeña s en la forma de la curva?
; (c) Ilustre lo anterior trazando la gráfica de cuatro miembros de
esta familia en la misma pantalla.
67. Encuentre una función cúbica f x ax 3 bx 2 cx d
que tenga un valor máximo local de 3 en 2 y un valor mínimo
local de 0 en 1.
68. ¿Para cuáles valores de los números a y b la función
f x axe bx2
tiene el valor máximo f 2 1?
e x 2 2
2
0
69. Demuestre que la curva insertar formula tiene tres puntos de
inflexión y se encuentran en una línea recta.
70. Demuestre que las curvas y e x y y e x toca la curva
y e x sen x en sus puntos de inflexión.
71. Suponga que f es derivable en un intervalo I y f x 0 para
todos los números x en I, excepto para un número c. Demuestre
que f es creciente en el intervalo completo I.
72–74 Suponga que todas las funciones son derivables dos veces y
que la segunda derivada nunca es 0.
72. (a) Si f y t son cóncavas hacia arriba en I, demuestre que f t
es cóncava hacia arriba en I.
(b) Si f es positiva y cóncava hacia arriba en I, demuestre que
la función tx f x 2 es cóncava hacia arriba en I.
73. (a) Si f y t son funciones positivas, crecientes, cóncavas hacia
arriba en I, demuestre que la función producto ft es cóncava
hacia arriba en I.
(b) Demuestre que el inciso (a) sigue siendo verdadero si f y t
son decrecientes.