Cálculo de Una Variable, 6a ed

62 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
El diagrama que aparece en la figura 6 pone en evidencia la manera en que f 1 invierte
el efecto de f en este caso.
A
B
A
B
1
5
1
5
3
7
3
7
FIGURA 6
La función inversa invierte
las entradas y las salidas
8
f
_10
8
f –!
_10
Por tradición la letra x se usa como la variable independiente, así, al concentrarse
en f 1 en vez de f, por lo regular invierte las funciones que juegan x y y en la definición
2 y escribia
3
f 1 x y
&?
f y x
Al sustituir y en la definición 2, y sustituir x en (3), obtiene las ecuaciones de cancelación
siguientes:
4
f 1 f x x para toda x en A
f f 1 x x para toda x en B
La primera ecuación de cancelación dice que si empieza con x, aplica f, a continuación
aplica f 1 , llega de nuevo a x, donde empezamos (véase el diagrama que aparece en la
figura 7). Así, f 1 deshace lo que f hace. La segunda ecuación dice que f deshace lo que
f 1 hace.
FIGURA 7
x
f ƒ f–!
x
Por ejemplo, si fx x 3 , entonces f 1 x x 13 y de ese modo las ecuaciones de cancelación
se convierten en
f 1 f x x 3 13 x
f f 1 x x 13 3 x
Estas ecuaciones indican simplemente que la función cúbica y la función raíz cúbica se
cancelan entre sí cuando se aplican en forma sucesiva.
Vea ahora cómo calcular funciones inversas. Si tiene una función y f x y es capaz
de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces según la definición 2 tiene que
x f 1 y. Si desea nombrar como x la variable independiente, entonces intercambie x y y
y llegue a la ecuación y f 1 x.
5 CÓMO ENCONTRAR LA FUNCIÓN INVERSA DE UNA FUNCIÓN f UNO A UNO
ETAPA 1 Escriba y f x.
ETAPA 2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (de ser posible).
ETAPA 3 Para expresar f 1 como una función de x, intercambie x y y. La ecuación
resultante es y f 1 x.