Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 9.6 SISTEMAS DEPREDADOR-PRESA |||| 611
trayectoria de fase? Si se escribe R 1 000 y W = 40 en la primera ecuación diferencial, se
obtiene
dR
dt
0.081000 0.001100040 80 40 40
Puesto que dRdt 0, se concluye que R es creciente en P 0 y, por lo tanto, se va en
sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la trayectoria de fase.
Se ve que en P 0 no hay suficientes lobos para mantener un equilibrio entre las
poblaciones, así que se incrementa la población de conejos. Eso da como resultado más
lobos y, en algún momento, hay tantos lobos que los conejos tienen dificultades para
evitarlos. Así, el número de conejos comienza a disminuir (en P 1 , donde se estima que R
llega a su población máxima de casi 2 800). Esto significa que en algún tiempo posterior
la población de lobos comienza a bajar (en P 2 , donde R 1 000 y W 140). Pero esto
beneficia a los conejos, así que su población comienza a crecer después (en P 3 , donde
W 80 y R 210). Como consecuencia, la población de lobos finalmente comienza a
crecer también. Esto sucede cuando las poblaciones vuelven a sus valores iniciales de
R 1 000 y W 40, y el ciclo completo comienza de nuevo.
(e) De la descripción del inciso (d) de cómo aumentan y disminuyen las poblaciones de
conejos y lobos, se pueden bosquejar las gráficas de Rt y Wt. Suponga que los puntos
P 1 , P 2 y P 3 en la figura 3 se alcanzan en los tiempos t 1 , t 2 y t 3 . Después se pueden bosquejar
las gráficas de R y W como en la figura 4.
R
2500
2000
1500
1000
500
0 t¡ t t£
t
W
140
120
100
80
60
40
20
0 t¡ t t£
t
FIGURA 4
Gráficas de las poblaciones de conejos
y lobos como funciones del tiempo
A fin de facilitar la comparación de las gráficas, se trazan en los mismos ejes, pero
con escalas distintas para R y W, como en la figura 5. Observe que los conejos alcanzan
sus poblaciones máximas cerca de un cuarto de ciclo antes que los lobos.
R
TEC En Module 9.6 se puede cambiar los
coeficientes en las ecuaciones Lotka-Volterra y
observar los cambios en la trayectoria de fase
y las gráficas de población de conejos y lobos.
Número
de
conejos
3000
2000
R
W
W
120
80
Número
de
lobos
FIGURA 5
Comparación de
las poblaciones
de conejos y lobos
1000
40
0 t¡ t t£
t