Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES |||| 663
y
F
P
r
¨
r cos ¨
d
l (directriz)
x=d
x
DEMOSTRACIÓN Observe que si la excentricidad es e 1, en tal caso y, de
este modo, la condición dada simplemente se convierte en la definición de una parábola
según se da en la sección 10.5.
Se colocará el foco F en el origen y la directriz paralela al eje y y d unidades a la
derecha. Así, la directriz tiene ecuación x d y es perpendicular al eje polar. Si el punto
P tiene coordenadas polares r, u, se ve de la figura 1 que
PF r Pl d r cos
PF Pl e PF e Pl
Así, la condición , o , se convierte en
PF Pl
C
2
r ed r cos
FIGURA 1
Si se elevan al cuadrado ambos lados de esta ecuación polar y se convierte a coordenadas
rectangulares, se obtiene
x 2 y 2 e 2 d x 2 e 2 d 2 2dx x 2
o bien,
1 e 2 x 2 2de 2 x y 2 e 2 d 2
Después de completar el cuadrado, se tiene
2
e 2 2
d
x y 2
1 e 1 e e 2 d 2
3
2 1 e 2 2
Si e 1, se reconoce la ecuación 3 como la ecuación de una elipse. De hecho, es de la
forma
donde
4
En la sección 10.5 se encuentra que los focos de una elipse están a una distancia c del
centro, donde
5
h
e 2 d
1 e 2
x h 2
y 2
a 2 b 1 2
a 2 e 2 d 2
1 e 2 2
c 2 a 2 b 2 e 4 d 2
Esto demuestra que
c
e 2 d
1 e h
2
y confirma que el foco como se definió en el teorema 1 significa lo mismo que el foco definido
en la sección 10.5. Se deduce también de las ecuaciones 4 y 5 que la excentricidad está
dada por
e c a
1 e 2 2
b 2 e 2 d 2
1 e 2
Si e 1, entonces 1 e 2 0 y se ve que la ecuación 3 representa una hipérbola. Justo
como se hizo antes, se podría reescribir la ecuación 3 en la forma
y se ve que
x h 2
y 2
a 2 b 1 2
e c a
donde c 2 a 2 b 2