Cálculo de Una Variable, 6a ed

380 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
sos. El teorema fundamental del cálculo da la correspondencia inversa inequívoca entre
la derivada y la integral. Newton y Leibniz explotaron esta correspondencia y la aplicaron
para desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. En particular,
ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad
áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas como en las secciones
5.1 y 5.2.
La primera parte del teorema fundamental trata funciones definidas por una ecuación
de la forma
y
0
a
y=f(t)
área=©
x
b
t
1
tx y x
a
x x
x f t dt x f t dt a
a
f t dt
donde f es una función continua sobre a, b y x varía entre a y b. Observe que t depende
sólo de x, que aparece como el límite superior variable en la integral. Si x es un número
fijo, entonces la integral es un número definido. Si después hace variar x, el número
también varía y define una función de x que se denota mediante tx.
Si f es una función positiva, entonces t(x) puede interpretarse como el área debajo de
la gráfica de f de a a x, donde x puede cambiar de a a b. (Considere a t como la función
“el área hasta”; véase la figura 1.)
FIGURA 1
y
2
1
0
1
2
y=f(t)
4
t
V EJEMPLO 1 Si f es la función cuya gráfica se ilustra en la figura 2 y x x f t dt,
0
encuentre los valores de t(0), t(1), t(2), t(3), t(4) y t(5). Luego trace una gráfica
aproximada de t.
tx
SOLUCIÓN En primer lugar observe que t0 x 0 f t dt 0. A partir de la figura 3 se ve
0
que t(1) es el área de un triángulo:
t1 y 1
f t dt 1 2 1 2 1
0
FIGURA 2
Para hallar t(2) le agrega a t(1) el área de un rectángulo:
t2 y 2
f t dt y 1
f t dt y 2
f t dt 1 1 2 3
0
0
1
Estime que el área debajo de f de 2 a 3 es alrededor de 1.3, de manera que
t3 t2 y 3
f t dt 3 1.3 4.3
2
y
2
y
2
y
2
y
2
y
2
1
1
1
1
1
0
1
t
0
1
2
t
0
1
2
3
t
0
1
2
4
t
0
1
2
4
t
g(1)=1
g(2)=3
g(3)Å4.3
FIGURA 3
g(4)Å3
g(5)Å1.7