Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 5.4 INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL |||| 391
5.4
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL
Ya vio en la sección 5.3 que mediante la segunda parte del teorema fundamental del cálculo
se obtiene un método muy eficaz para evaluar la integral definida de una función, si supone
que puede encontrar una antiderivada de la función. En esta sección se presenta
una notación para la antiderivada, se repasan las fórmulas de las antiderivadas y se usan
para evaluar integrales definidas. Asimismo, replantea el TFC2, de una manera que facilita
más aplicarlo a problemas relacionados con las ciencias y la ingeniería.
INTEGRALES INDEFINIDAS
Ambas partes del teorema fundamental establecen relaciones entre antiderivadas e integrales
definidas. La parte 1 establece que si f es continua, entonces x x f t dt es una antiderivada de
f. La parte 2 plantea que x b a
f x dx se puede determinar evaluando Fb Fa, donde F es
a
una antiderivada de f.
Necesita una notación conveniente para las antiderivadas que facilite trabajar con ellas.
Debido a la relación dada por el teorema fundamental entre las antiderivadas y las integrales,
por tradición se usa la notación x f x dx para una antiderivada de f y se llama integral
indefinida. Por esto,
y f x dx Fx
significa
Fx f x
Por ejemplo, puede escribir
x b a f x dx y x 2 dx x 3
3 C porque d
dx
x 3
3 C x 2
De este modo, considere una integral indefinida como la representante de una familia entera
de funciones, (es decir, una antiderivada para cada valor de la constante C).
| Distinga con cuidado entre las integrales definidas y las indefinidas. Una integral definida
es un número, en tanto que una integral indefinida x f x dx es una función
(o una familia de funciones). La relación entre ellas la proporciona la parte 2 del teorema
fundamental. Si f es continua sobre a, b, entonces
y b
a
b
f x dx y f x dxa
La eficacia del teorema fundamental depende de que se cuente con un suministro de antiderivadas
de funciones. Por lo tanto, se presenta de nuevo la tabla de fórmulas de antiderivación
de la sección 4.9, más otras cuantas, en la notación de las integrales indefinidas.
Cualquiera de las fórmulas se puede comprobar al derivar la función del lado derecho y
obtener el integrando. Por ejemplo,
y sec 2 xdx tan x C
porque
d
dx tan x C sec2 x