Cálculo de Una Variable, 6a ed

68 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
tiene
sen 1 x y
&?
sen y x
y
2 y
2
| sen 1 x 1
sen x
Por esto, si 1 x 1, sen 1 x es el número entre p2 y p2 cuyo seno es x.
EJEMPLO 12 Determine (a) sen 1 ( 1 2) y (b) tan(arcsen 1 3) .
SOLUCIÓN
(a) Tenemos
sen 1 ( 1 2)
6
¨
FIGURA 19
3
2 œ„2
1
porque sen6 1 2 y p6 queda entre p2 y p2.
(b) Sea , de modo que sen 1 3. Entonces, podemos dibujar un triángulo
rectángulo con ángulo u como en la figura 19 y deducir de acuerdo con el Teorema de
Pitágoras que el cateto faltante mide s9 1 2s2. Esto permite que podamos saber
a partir del triángulo que
arcsen 1 3
tan(arcsen 1 3) tan 1
2s2
Las ecuaciones de cancelación para el caso de las funciones inversas se transforman en
sen 1 sen x x
sensen 1 x x
para 1 x 1
para
2 x 2
El dominio de la función inversa del seno, sen 1 , es 1, 1 y el rango es 2, 2,
y su gráfica, que se ilustra en la figura 20, se obtiene de la función restringida del seno (figura
18) por reflexión con respecto a la línea y x.
y
π
2
y
1
_1
0
1
x
0
π
2
π
x
_ π 2
FI GURA 20
y=sen–!x=arcsen x
FI GURA 21
y=cos x, 0¯x¯π
La función inversa del coseno se trata en forma similar. La función restringida del coseno
f x cos x, 0 x , es uno a uno (véase figura 21) y, de este modo, tiene una
función inversa que se denota mediante cos 1 o arccos.
cos 1 x y
&? cos y x y 0 y