Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 5.3 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO |||| 385
La parte 2 del teorema fundamental establece que si conoce una antiderivada F de
f, entonces puede evaluar x b f x dx simplemente calculando la diferencia de los valores
de F en los extremos del intervalo a, b. Sorprende mucho que x b f x dx, que fue
a
a
definida mediante un procedimiento complicado que requiere todos los valores de f x
para a x b, se pueda determinar conociendo los valores de Fx en sólo dos puntos,
a y b.
El teorema sorprende a primera vista, esto es posible cuando se le interpreta en términos
físicos. Si vt es la velocidad de un objeto y st es su posición en el tiempo t, entonces
vt st, y s es una antiderivada de v. En la sección 5.1 se estudia un objeto que
siempre se mueve en la dirección positiva y plantea una conjetura de que el área bajo la
curva de la velocidad es igual a la distancia recorrida. Si lo expresa mediante símbolos, es
lo siguiente:
y b
vt dt sb sa
a
Eso es exactamente lo que el TFC2 establece en este contexto.
V EJEMPLO 5 Evalúe la integral y 3
e x dx.
1
SOLUCIÓN La función f x e x es continua en todas sus partes y sabe que una antiderivada
es Fx e x , de modo que la parte 2 del teorema fundamental da
& Compare el cálculo en el ejemplo 5 con
el mucho más difícil del ejemplo 3 de la
sección 5.2.
y 3
e x dx F3 F1 e 3 e
1
Observe que el TFC2 establece que puede utilizar cualquier antiderivada F de f.
De este modo podría usar la más sencilla, a saber Fx e x , en lugar de e x 7 o de
e x C
.
A menudo se recurre a la notación
Fx] a
b
Fb Fa
También la ecuación del TFC2 se puede expresar como
y b
b
f x dx Fx] a
a
donde
F f
b
Otras notaciones comunes son Fx a b y Fx a .
V EJEMPLO 6 Determinar el área bajo la parábola y x 2 desde 0 hasta 1.
SOLUCIÓN Una antiderivada de f x x 2 es Fx 1 3 x 3 . El área requerida A se calcula
aplicando la parte 2 del teorema fundamental:
& Al aplicar el teorema fundamental se usa
una antiderivada particular F de f . No es
necesario usar la antiderivada más general.
A y 1
x 2 dx x 3
0
30
1
13
3 03
3 1 3
Si compara el cálculo del ejemplo 6 con el del ejemplo 2 de la sección 5.1, verá que el
teorema fundamental proporciona un método mucho más corto.