Cálculo de Una Variable, 6a ed

754 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Así, con c 3 10 8 ms,
R 1x 1 2 3m 0 c 2 1004
41 100 2 c 2 52
4.17 10 10 m
c 4 0
v 100
De modo que cuando ms, la magnitud del error al usar la expresión newtoniana
para la energía cinética es cuanto mucho 4.2 10 10 m 0 .
Estos conceptos también se aplican en el campo de la óptica. La figura 8 es una adaptación
de Optics, 4a. ed. de Eugene Hecht, Reading, MA: Addison-Wesley, 2002, p. 153.
Representa una onda de la fuente puntual S que se encuentra una interfaz esférica de radio
R centrado en C. El rayo SA se refracta hacia P.
¨r
¨i
A
FIGURA 8
Refracción en una interfaz esférica
S
L o
h
L i
R
¨t
V
˙
C
s o s i
n¡ n
P
Cortesía de Eugene Hecht
Al aplicar el principio de Fermat de que la luz viaja en el menor tiempo posible, Hecht
deduce la ecuación
n 1s o
o
n 1
n 2
o i
1 n 2s i
1
R i
donde n 1 y n 2 son índices de refracción y o , i , s o y s i son las distancias indicadas en la
figura 8. De acuerdo con la ley de los cosenos aplicada en los triángulos ACS y ACP,
tiene
2
o sR 2 s o R 2 2Rs o R cos
&
En este caso utilice la identidad
cos cos
i sR 2 s i R 2 2Rs i R cos
Como es un poco complicado trabajar con la ecuación 1, Gauss, en 1841, la simplificó
usando la aproximación lineal cos 1 para valores pequeños de . (Esto equivale a usar
el polinomio de Taylor de grado 1.) Por lo tanto la ecuación se transforma en la siguiente
ecuación más sencilla, que se le pide demostrar en el ejercicio 34(a):
3
n 1
n 2
n 2 n 1
s o s i R
La teoría óptica resultante se conoce como óptica de Gauss u óptica de primer orden,y se
ha vuelto la herramienta teórica básica para diseñar lentes.
Una teoría más exacta se obtiene al aproximar cos por medio de su polinomio de Taylor
de grado 3 (que es el mismo que el polinomio de Taylor de grado 2). Esto considera
los rayos para los cuales no es tan pequeña, es decir, rayos que golpean la superficie