Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 309
(En el caso de las funciones racionales, puede localizar las asíntotas verticales igualando
el denominador a 0 después de anular los factores comunes. Este método no se aplica
a otras funciones.) Además, al trazar la curva es muy útil conocer exactamente cuál
de las proposiciones de (1) se cumple. Si f a no está definida, pero a es un extremo
del dominio de f, entonces es después calcular lím x l a f x o lím x l a f x, sea este límite
infinito o no.
(iii) Asíntotas inclinadas. Se tratan al final de la sección.
E. Intervalos de incremento o decremento Aplique la prueba ID . Calcule f x y determine los intervalos
en los cuales f x es positiva, es decir, donde (f sea creciente) y los intervalos en
donde f x sea negativa, (f sea decreciente).
F. Valores de los máximos locales y de los mínimos locales Determine los números críticos de f [los
números c donde f c 0 o bien, f c no existe]. Luego aplique la prueba de la primera
derivada. Si f pasa de positivo a negativo en un número crítico c, entonces f c
es un máximo local. Si f cambia de negativo a positivo en c, entonces f c es un mínimo
local. Por lo regular se prefiere usar la prueba de la primera derivada, pero también se
aplica la prueba de la segunda derivada si f c 0 y f c 0. Entonces, f c 0
significa que f c es un mínimo local, en tanto que f c 0 quiere decir que f c es
un máximo local.
G. Concavidad y puntos de inflexión Calcule f x y aplique la prueba de concavidad. La curva
es cóncava hacia arriba donde f x 0 y cóncava hacia abajo donde f x 0.
Los puntos de inflexión se encuentran donde cambia la dirección de la concavidad.
H. Trace la curva A partir de la información anterior dibuje la gráfica. Trace las asíntotas como
líneas discontinuas. Localice las intersecciones, los puntos máximos y mínimos y
los puntos de inflexión. Luego haga que la curva pase por estos puntos, subiendo y bajando
de acuerdo con E, la concavidad según G y aproxímela a las asíntotas. Si se necesita
mayor precisión cerca de algún punto, calcule el valor de la derivada en dicho punto. La
tangente indica la dirección en la cual progresa la curva.
EJEMPLO 1 Aplique las normas para graficar la curva y 2x 2
V
.
x 2 1
A. El dominio es
x x 2 1 0 x x 1 , 1 1, 1 1,
B. Tanto la intersección con el eje x como la intersección con el eje y es 0.
C. Puesto que f x f x, la función f es par. La curva es simétrica con respecto al eje
de las y
y
D.
lím
x l
2x 2
x 2 1 lím
x l
2
1 1x 2 2
y=2
x=_1
0
x=1
x
Por lo tanto, la recta y 2 es una asíntota horizontal.
Puesto que el denominador es 0 cuando x 1, calcule los límites siguientes:
2x 2
lím
x l1 x 2 1 lím 2x 2
x l1 x 2 1
FIGURA 5
Trazos preliminares
2x 2
lím
x l1 x 2 1
lím 2x 2
x l1 x 2 1
& Se muestra la curva que se acerca a su asíntota
horizontal desde arriba en la figura 5. Esto se
confirma mediante los intervalos de incremento
y decremento.
Por lo tanto, las rectas x 1 y x 1 son asíntotas verticales. Esta información relacionada
con los límites y las asíntotas posibilita el dibujo de la gráfica preliminar en
la figura 5, en la que se ilustran las partes de la curva cercanas a las asíntotas.