Cálculo de Una Variable, 6a ed

A10 |||| APÉNDICE B GEOMETRÍA DE COORDENADAS Y RECTAS
57–58 Despeje x, suponiendo que a, b y c son constantes positivas.
57. a(bx c) bc 58. a bx c 2a
59–60 Despeje x, suponiendo que a, b y c son constantes negativas.
ax b
59. ax b c 60. b
c
x 2 0.01
y 3 0.04
x y 5 0.05
4x 13 3
61. Suponga que y . Use la desigualdad
del triángulo para demostrar que .
x 3 1 2
62. Demuestre que si , entonces .
63. Demuestre que si a b, entonces a a b b .
2
64. Use la regla 3 para demostrar la regla 5 de (2).
ab a b
65. Demuestre que . [Sugerencia: use la ecuación 4.]
a b
a
66. Demuestre que .
b
67. Demuestre que si 0 a b, entonces a 2 b 2 .
x y x y
68. Demuestre que . [Sugerencia: use la
desigualdad del triángulo con a x y y b y.]
69. Demuestre que la suma, diferencia y producto de números
racionales son números racionales.
70. (a) ¿La suma de dos números irracionales es siempre un
número irracional?
(b) ¿El producto de dos números irracionales es siempre un
número irracional?
B
GEOMETRÍA DE COORDENADAS Y RECTAS
En la misma forma en que los puntos sobre una recta pueden ser identificados con números
reales al asignarles coordenadas, como se describe en el apéndice A, así los puntos de un
plano pueden ser identificados con pares de números reales. Empiece por trazar dos rectas
coordenadas perpendiculares que se cruzan en el origen O en cada recta. Por lo general una
recta es horizontal con dirección positiva a la derecha y se llama eje x; la otra recta es vertical
con dirección positiva hacia arriba y se denomina eje y.
Cualquier punto P del plano puede ser localizado por un par de números ordenado,
único, como se indica a continuación. Trace rectas que pasen por P perpendiculares a los
ejes x y y. Estas rectas cruzan los ejes en los puntos con coordenadas a y b, como se muestra
en la figura 1. A continuación, al punto P se asigna el par ordenado (a, b). El primer
número a recibe el nombre de coordenada x de P; el segundo número b se llama coordenada
y de P. Entonces P es el punto con coordenadas (a, b), y se denota el punto con el
símbolo P(a, b). En la figura 2, varios puntos están marcados con sus coordenadas.
y
y
b
II
4
3
2
I
P(a, b)
(_2, 2)
4
3
2
(1, 3)
1
1
(5, 0)
_3
_2 _1 O
_1
_2
III
_3
_4
1 2 3 4 5
a
IV
x
_3 _2 _1 0
1 2 3 4 5 x
_1
_2
(_3, _2)
_3
_4 (2, _4)
FIGURA 1
FIGURA 2
Al invertir el proceso precedente, puede empezar con un par ordenado (a, b) y llegar
al punto P correspondiente. Con frecuencia se identifica el punto P con el par ordenado
(a, b) y se le dice al “punto (a, b)” [Aun cuando la notación empleada para un intervalo abierto