Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 293
y
y=x$-4˛
Como fx 0 cuando x 0 o 2, divida la recta real en intervalos con estos números
como puntos extremos y complete la tabla siguiente.
puntos de
inflexión
(0, 0)
2 3
x
Intervalo f x 12xx 2 Concavidad
, 0 hacia arriba
0, 2 hacia abajo
2, hacia arriba
FIGURA 11
(2, _16)
(3, _27)
El punto 0, 0 es un punto de inflexión, ya que la curva cambia allí de cóncava hacia
arriba a cóncava hacia abajo. Asimismo, 2, 16 es un punto de inflexión, puesto que la
curva cambia allí de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.
Con el uso del mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se
dibuja la curva de la figura 11.
NOTA La prueba de la segunda derivada no es concluyente cuando fc 0. En otras
palabras, en ese punto podría haber un máximo, un mínimo o ninguno de los dos (como en
el ejemplo 6). Esta prueba no funciona cuando fc no existe. En estos casos, debe aplicarse
la prueba de la primera derivada. De hecho, incluso cuando ambas pruebas son aplicables,
a menudo la prueba de la primera derivada es más fácil de usar.
& Intente reproducir la gráfica de la figura 12
con una calculadora graficadora o una computadora.
Algunas máquinas producen la gráfica
completa, otras generan sólo la parte de la derecha
del eje y algunas otras nada más la parte
entre x 0 y x 6. Para obtener la explicación
y el remedio, vea el ejemplo 7 de la
sección 1.4. Una expresión equivalente que
da la gráfica correcta es
y x 2 13
y
4
3
2
0
FIGURA 12
6 x
6 x 6 x 13
(4, 2%?#)
1 2 3 4 5 7
y=x@?#(6-x)!?#
x
EJEMPLO 7 Trace la gráfica de la función f x x 23 6 x 13 .
SOLUCIÓN Puede recurrir a las reglas de la derivación para comprobar que las dos primeras
derivadas son
f x
4 x
x 13 6 x 23
f x
8
x 43 6 x 53
x Como f x 0 cuando x 4 y f x no existe cuando x 0 o 6, los números críticos
positiva a negativa en 4, f 4 2 53 es un máximo local. El signo de f no varía en 6, de
son 0, 4 y 6.
Intervalo 4 x x 13 6 x 23 fx f
x 0 decreciente en (, 0)
0 x 4 creciente en (0, 4)
4 x 6 decreciente en (4, 6)
x 6 decreciente en (6, )
Para hallar los valores extremos locales, use la prueba de la primera derivada. Dado que
f cambia de negativa a positiva en 0, f0 0 es un mínimo local. Como f pasa de
modo que allí no hay mínimo ni máximo. (Se podría usar la prueba de la segunda
derivada en 4, pero no en 0 o 6, puesto que f no existe en ninguno de estos números.)
Si se estudia la expresión para fx y se observa que x 43 0 para todo x, tiene
f x 0 para x 0 y para 0 x 6 y f x 0 para x 6. De modo que f es
cóncava hacia abajo sobre , 0 y 0, 6, cóncava hacia arriba sobre 6, , y el
único punto de inflexión es 6, 0. En la figura 12 se encuentra la gráfica. Observe que
la curva tiene tangentes verticales en 0, 0 y 6, 0 porque f x l cuando x l 0 y
cuando x l 6.
EJEMPLO 8 Use la primera y segunda derivadas de f x e 1x , más las asíntotas para dibujar
su gráfica.
SOLUCIÓN Advierta que el dominio de f es x x 0 , de modo que se hace la comprobación
en relación con las asíntotas verticales calculando los límites por la izquierda y por
la derecha cuando x l 0. Cuando x l 0 , sabe que t 1x l , de suerte que