Cálculo de Una Variable, 6a ed

700 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
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EJEMPLO 3
(a) La serie
La serie p, 1
es convergente si p 1 y divergente si p 1.
n1 n p
1
n 1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 3
es convergente porque es una serie p con p 3 1.
(b) La serie
n1
n1
1
n 13
n1
1
s 3 n 1 1
s 3 2 1
s 3 3 1
s 3 4
es divergente porque es una serie p con p 1 3 1.
NOTA No debe inferir que, de acuerdo con la prueba de la integral, la suma de la serie
es igual al valor de la integral. En efecto,
Por lo tanto,
n1
1
n 2
2
6
n1
en tanto que
a n y
f x dx
1
y
1
1
x 2 dx 1
V
EJEMPLO 4 Determine si la serie
ln n
n1 n
es convergente o divergente.
SOLUCIÓN La función f x ln xx es positiva y continua para porque la función
logaritmo es continua. Pero no es obvio si f es decreciente o no lo es, de modo que al
calcular su derivada:
f x
1xx ln x
x 2
x 1
1 ln x
x 2
Por lo tanto, f x 0 cuando ln x 1, es decir, x e. Se infiere que f es decreciente
cuando x e y así aplicar la prueba de la integral:
y
1
ln x
x
dx lím
t l
y t ln x ln x 2 t
dx lím
1 x
t l 2
1
ln t 2
lím
t l 2
Puesto que esta integral impropia es divergente, la serie ln nn también es divergente
de acuerdo con la prueba de la integral.
ESTIMACIÓN DE LA SUMA DE UNA SERIE
Suponga que pudo aplicar la prueba de la integral para demostrar que una serie a n es
convergente y que quiere encontrar una aproximación a la suma s de la serie. Claro, cualquier
suma parcial s n es una aproximación a s porque lím n l s n s. Pero, ¿qué tan buena
es esa aproximación? Para saberlo, necesita estimar el tamaño del residuo.
R n s s n a n1 a n2 a n3