Cálculo de Una Variable, 6a ed

APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS |||| A45
Ahora sume f a a ambos lados de esta desigualdad:
f a f ax a f a f cx a
Pero de la ecuación 1 f x f a f cx a. De este modo, esta desigualdad se convierte
en
3
f x f a f ax a
que es lo que quería demostrar.
Para el caso donde x a tiene f c f a, pero la multiplicación por el número
negativo x a invierte la desigualdad, de modo que obtiene (2) y (3) como antes.
SECCIÓN 4.4
Para dar la prueba prometida de la regla de l’Hospital, primero necesita una generalización
del teorema del valor medio. El siguiente teorema recibió ese nombre en honor al
matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).
& En la página 113 vea un bosquejo
biográfico de Cauchy.
1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY Suponga que las funciones f y g son
continuas en a, b y derivables en a, b, y tx 0 para toda x en a, b. Entonces
hay un número c en a, b tal que
f c
tc
f b f a
tb ta
Note que si toma el caso especial en el que tx x, entonces tc 1 y el teorema 1
es precisamente el teorema del valor medio. Además, el teorema 1 se puede demostrar
de un modo semejante. El lector puede verificar que todo lo que tiene que hacer es cambiar
la función h dada por la ecuación 4.2.4 a la función
hx f x f a
y aplicar el teorema de Rolle como antes.
f b f a
tb ta
tx ta
REGLA DE L’HOSPITAL Suponga que f y t son derivables y tx 0 en un intervalo
abierto I que contiene a (excepto posiblemente en a). Suponga que
lím f x 0 y tx 0
x l a x l a
o que
lím
lím f x
x l a
y
lím tx
x l a
(En otras palabras, tiene una forma indeterminada del tipo o . Entonces
lím
x l a
f x
tx lím
x l a
f x
tx
si existe el límite en el lado derecho (o es o ).
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