Cálculo de Una Variable, 6a ed

592 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
Otra manera de escribir la ecuación 1 es
1
P
dP
dt
k
la cual dice que la rapidez de crecimiento relativo (rapidez de crecimiento dividida por
el tamaño de la población) es constante. Por lo tanto (2) dice que una población con crecimiento
relativo constante debe crecer de forma exponencial.
Se puede considerar emigración (o “recolectores”) de una población modificando la
ecuación 1; si la rapidez de emigración es una constante m, entonces, la rapidez de cambio
de la población se representa mediante la ecuación diferencial
3
dP
dt
kP m
Considere el ejercicio 13 para la solución y consecuencias de la ecuación 3.
MODELO LOGÍSTICO
Como se explicó en la sección 9.1, una población suele incrementarse de forma exponencial
en sus primeras etapas, pero se estabiliza finalmente y tiende a su capacidad de soporte
debido a los recursos limitados. Si Pt es el tamaño de la población en el tiempo t, se
supone que
dP
dt
kP
si P es pequeña
Esto dice que la rapidez de crecimiento al inicio está próxima a ser proporcional al tamaño.
En otras palabras, la rapidez de crecimiento relativa es casi constante cuando la población
es pequeña. Pero también se quiere reflejar el hecho de que la rapidez de crecimiento relativa
disminuye cuando se incrementa la población P y se vuelve negativa si P excede alguna
vez su capacidad de soporte K, la población máxima que el ambiente es capaz de sostener
a la larga. La expresión más simple para la rapidez de crecimiento relativa que incorpora
estas suposiciones es
1 dP
k1 P P dt K
Al multiplicar por P, se obtiene el modelo para el crecimiento poblacional conocido como
ecuación diferencial logística:
4
dP
dt
kP1 P K
Observe de la ecuación 4 que si P es pequeña en comparación con K, en tal caso PK es
cercano a cero y, por lo tanto, dPdt kP. Sin embargo, si P l K (la población se aproxima
a su capacidad de soporte), entonces PK l 1, así que dPdt l 0. Se puede deducir
información acerca de si las soluciones se incrementan o disminuyen directamente de la
ecuación 4. Si la población P yace entre 0 y K, entonces el lado derecho de la ecuación es
positivo, así que dPdt 0 y la población crece. Pero si la población excede la capacidad
de soporte P K, entonces 1 PK es negativa, de modo que dPdt 0 y la población
disminuye.
Se inicia el análisis más detallado de la ecuación diferencial logística considerando un
campo direccional.