Cálculo de Una Variable, 6a ed

SECCIÓN 7.8 INTEGRALES IMPROPIAS |||| 515
Así, si se toma f x e x y tx e x2 en el teorema de comparación, se ve que
x es convergente. Se deduce que x es convergente.
0 ex2 dx
1 ex2 dx
t
TABLA 1
x t 2 0 ex dx
1 0.7468241328
2 0.8820813908
3 0.8862073483
4 0.8862269118
5 0.8862269255
6 0.8862269255
En el ejemplo 9 se mostró que x dx es convergente sin calcular su valor. En el ejercicio
70 se indica cómo mostrar que su valor es aproximadamente 0.8862. En teoría de pro-
0 ex2
babilidad es importante conocer el valor exacto de esta integral impropia, como se verá en
la sección 8.5; con los métodos del cálculo de varias variables se puede demostrar que el
valor exacto es s2. En la tabla 1 se ilustra la definición de una integral impropia mostrando
cómo los valores (generados con computadora) de x t se aproximan a
0 ex2 dx
s2
cuando t se vuelve grande. De hecho, estos valores convergen con bastante rapidez porque
e x2 l 0 es muy rápido cuando x l .
t
TABLA 2
x t 1 1 ex x dx
2 0.8636306042
5 1.8276735512
10 2.5219648704
100 4.8245541204
1 000 7.1271392134
10 000 9.4297243064
EJEMPLO 10 La integral
porque
x 1
y
1
1 e x
dx es divergente por el teorema de comparación
x
e x
1 x x
1
y 1x dx es divergente por el ejemplo 1 [o por (2) con p 1].
En la tabla 2 se ilustra la divergencia de la integral del ejemplo 10. Al parecer los valores
no se aproximan a ningún número fijo.
7.8
EJERCICIOS
1.
Explique por qué cada una de las siguientes integrales es
impropia.
(a)
(c)
y
x 4 e x4 dx
1
y 2
0
x
x 2 5x 6 dx
2. ¿Cuáles de las siguientes integrales son impropias? ¿Por qué?
(a)
(b) y 1 1
y 2 1
0 2x 1 dx
1 2x 1 dx
(c) y sen x
(d) y 2
lnx 1 dx
1 x dx 2 1
3. Encuentre el área bajo la curva y 1x 3 de x 1 a x t y
evalúela para t 10, 100 y 1 000. Después encuentre el área
total bajo esta curva para x 1.
; 4. (a) Grafique las funciones f x 1x 1.1 y tx 1x 0.9 en los
rectángulos de visión 0, 10 por 0, 1 y 0, 100 por 0, 1.
(b) Encuentre el área bajo las gráficas de f y t de x 1 a
x t y evalúe para t 10, 100, 10 4 , 10 6 , 10 10 , y 10 20 .
(c) Encuentre el área total bajo cada curva para x 1, si existe.
5–40 Determine si cada integral es convergente o divergente. Evalúe
las que son convergentes.
5. 6. y 0 1
y 1
2x 5 dx
1 3x 1 dx 2
(b)
(d)
y
0
2
y 0
sec x dx
1
x 2 5 dx
7.
9. e y2 dy
10. y 1
e 2t dt
4
11. y x
12. y 2 v 4 dv
1 x dx 2
13.
y 1
y
y xe x2 dx
y
8.
14.
15. sen d
16.
2
17. y x 1
18.
1 x 2 2x dx
19. y
se 5s ds
20. y 6 re r3 dr
0
1
s2 w dw
y ln x
21. dx
22. y x 3 e x4 dx
1 x
23. 24. y e
y x 2
x
0 e 2x 3 dx
9 x dx 6
25. y 1
26.
e xln x dx 3
y
0
y
1
y
0
y
0
27. y 1 3
28. y 3
0 x dx 5 2
x
x 2 2 2 dx
e sx
sx dx
y cos pt dt
dz
z 2 3z 2
x arctan x
1 x 2 2 dx
1
s3 x dx